Begrunn hvorfor sin² u + cos² u = 1

En rettvinklet trekant har sidelengder 8, 6 og 10. Se figuren under.

Vis at

{(\sin u)}^{2} + {(\cos u)}^{2} = 1

Rettvinklet trekant

Fasit

Oppgaven er et bevis. Se løsningsforslag.

Løsningsforslag

Vi har at $\sin u = \frac{8}{10}$ og $\cos u = \frac{6}{10}$ .

\sin^{2} u + \cos^{2} u = {(\frac{8}{10})}^{2} + {(\frac{6}{10})}^{2} = \frac{64}{100} + \frac{36}{100} = \frac{100}{100} = 1

Vi har $\sin u = \frac{8}{10} ⟺ 8 = 10 \sin u$ og $\cos u = \frac{6}{10} ⟺ 6 = 10 \cos u$

Vi kan bruke pytagoras på trekanten og sette opp

\begin{matrix} 8^{2} + 6^{2} & = 10^{2} \\ {(10 \sin u)}^{2} + {(10 \cos u)}^{2} & = 10^{2} \\ 10^{2} \sin^{2} u + 10^{2} \cos^{2} u & = 10^{2} \\ \sin^{2} u + \cos^{2} u & = 1 \end{matrix}

${(\sin u)}^{2} + {(\cos u)}^{2} = 1$ , som skulle vises.[^1]

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som setter opp riktige forhold for sinus og cosinus, men ikke viser sammenhengen, får 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2023, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Algebra
Kompetansemål: Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar

Innstillinger