Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26

I et kunstprosjekt skal Selma bygge et stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Hun starter med en treplate med sidelengde $5 m$ .

Når hun bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være $0,1 m$ kortere enn sidelengden til treplaten under.

Sett opp en aritmetisk rekke som viser summen av sidelengdene til treplatene i tårnet. Hvor mange treplater kan det maksimalt bli i tårnet til Selma?

Vilfred skal bygge et annet stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Han starter med en treplate som har areal $19 m^{2}$ .

Når han bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være $10 %$ kortere enn sidelengden til treplaten under.

Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli i tårnet til Vilfred?

Fasit

100

Løsningsforslag

Vi ser at første ledd er $a_{1} = 5$ og differansen $d = - 0,1$ .

Ledd nummer $n$ i rekka er gitt ved

a_{n} = 5 + (n - 1) \cdot (- 0,1) = 5 - 0,1 n + 0,1 = 5,1 - 0,1 n

Leddene i rekka blir altså:

5, 4,9, 4,8, 4,7, \dots, 0,1

Det siste leddet må være $0,1$ siden en treplate ikke kan ha sidelengde 0 (da er det jo ikke noe treplate).

Vi kan finne ut hvor mange ledd det er ved hjelp av uttrykket for ledd $n$ :

\begin{matrix} a_{n} & = 5,1 - 0,1 n \\ 0,1 & = 5,1 - 0,1 n \\ 0,1 n & = 5,1 - 0,1 \\ 0,1 n & = 5 \\ n & = 50 \end{matrix}

Rekka $5 + 4,9 + 4,8 + 4,7 + \dots + 0,1$ beskriver summen av sidelengdene i tårnet. Tårnet kan maksimalt bestå av 50 plater.

Sette opp mønsteret

Det kan være lurt å først undersøke hvordan arealet utvikler for de første platene. Det er absolutt ikke nødvendig for å løse oppgaven, men det kan være vanskelig å finne ut hvordan man skal sette opp rekka.

Vi undersøker først mønsteret ved å sette opp en oversiktlig tabell. La $s$ være sidelengden og $A$ være arealet av plate $n$ .

$n$	$s$	$A$
$1$	$\sqrt{19}$	$19$
$2$	$\sqrt{19} \cdot 0,9$	$19 \cdot {0,9}^{2}$
$3$	$\sqrt{19} \cdot {0,9}^{2}$	$19 \cdot {0,9}^{4}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$
$n$	$\sqrt{19} \cdot {0,9}^{n - 1}$	$19 \cdot {0,9}^{2 \cdot (n - 1)}$

Hvis sidelengden minker med 10 % så kan vi sette opp sammenhengen

(sidelengde plate 2) = 0,9 \cdot (sidelengde plate 1)

Arealet for plate 1, $A_{1}$ , er 19. Da må arealet for plate 2 bli:

\begin{matrix} A_{2} & = {(sidelengde plate 2)}^{2} = {(0,9 \cdot (sidelengde plate 1))}^{2} \\ = {0,9}^{2} \cdot A_{1} = {0,9}^{2} \cdot 19 = 0,81 \cdot 19 \end{matrix}

Arealene danner altså en geometrisk rekke med kvotient $k = 0,81$ og $A_{1} = 19$ . Summen av rekka er gitt ved

S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{19}{1 - 0,81} = \frac{19}{0,19} = 100

Det samlede arealet kunne blitt $100 m^{2}$ hvis Vilfred kunne brukt uendelig mange plater. I praksis vil det samlede arealet bli veldig nærme 100 m² dersom han bruker mange plater.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å sette opp rekken og 1 poeng for å finne riktig antall plater. Kandidater som angir rekken ved formelen for det $n$ -te leddet eller ved å sette opp de første leddene får uttelling. Både rekker som viser summen av omkretsene og rekker som viser summen av en side per plate gir poeng.

Kandidater som har satt opp den geometriske rekken feil, men som har regnet riktig ut fra egen geometrisk rekke, kan få 1 poeng. Tilsvarende kan kandidater som har satt opp den geometriske rekken riktig, men regnet noe feil få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2026, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26

Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26

Lov på eksamen

Temaer