Aritmetisk og geometrisk rekke - treplatetårn S2 V26

I et kunstprosjekt skal Selma bygge et stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Hun starter med en treplate med sidelengde $5 \mathrm{~m}$ .

Når hun bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være $0{,}1 \mathrm{~m}$ kortere enn sidelengden til treplaten under.

Sett opp en aritmetisk rekke som viser summen av sidelengdene til treplatene i tårnet. Hvor mange treplater kan det maksimalt bli i tårnet til Selma?

Vilfred skal bygge et annet stort tårn ved å legge kvadratiske treplater oppå hverandre. Han starter med en treplate som har areal $19 \mathrm{~m}^2$ .

Når han bygger videre, skal sidelengden til hver ny treplate være $10\,\%$ kortere enn sidelengden til treplaten under.

Hvor stort kan det samlede arealet av platene bli i tårnet til Vilfred?

Fasit

100

Løsningsforslag

Vi ser at første ledd er $a_{1}=5$ og differansen $d=-0{,}1$ .

Ledd nummer $n$ i rekka er gitt ved

a_{n}=5+(n-1) \cdot \left(-0{,}1\right)=5-0{,}1n+0{,}1=5{,}1-0{,}1n

Leddene i rekka blir altså:

5, \, 4{,}9, \,4{,}8, \, 4{,}7, \, \dots , 0{,}1

Det siste leddet må være $0{,}1$ siden en treplate ikke kan ha sidelengde 0 (da er det jo ikke noe treplate).

Vi kan finne ut hvor mange ledd det er ved hjelp av uttrykket for ledd $n$ :

\begin{aligned} a_{n}&=5{,}1-0{,}1n \\ 0{,}1 &= 5{,}1 - 0{,}1n \\ 0{,}1n &=5{,}1 - 0{,}1 \\ 0{,}1 n &= 5 \\ n &= 50 \end{aligned}

Rekka $5 + \, 4{,}9 + \,4{,}8 + \, 4{,}7 + \, \dots + 0{,}1$ beskriver summen av sidelengdene i tårnet. Tårnet kan maksimalt bestå av 50 plater.

Sette opp mønsteret

Det kan være lurt å først undersøke hvordan arealet utvikler for de første platene. Det er absolutt ikke nødvendig for å løse oppgaven, men det kan være vanskelig å finne ut hvordan man skal sette opp rekka.

Vi undersøker først mønsteret ved å sette opp en oversiktlig tabell. La $s$ være sidelengden og $A$ være arealet av plate $n$ .

$n$	$s$	$A$
$1$	$\sqrt{ 19 }$	$19$
$2$	$\sqrt{ 19 }\cdot 0{,}9$	$19 \cdot 0{,}9^{2}$
$3$	$\sqrt{ 19 } \cdot 0{,}9^{2}$	$19 \cdot 0{,}9^{4}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$n$	$\sqrt{ 19 } \cdot 0{,}9^{n-1}$	$19 \cdot 0{,}9^{2 \cdot(n-1)}$

Hvis sidelengden minker med 10 % så kan vi sette opp sammenhengen

(\text{sidelengde plate 2}) = 0{,}9 \cdot \left( \text{sidelengde plate 1} \right)

Arealet for plate 1, $A_{1}$ , er 19. Da må arealet for plate 2 bli:

\begin{aligned} A_{2}&=(\text{sidelengde plate 2})^{2} = \left(0{,}9 \cdot \left( \text{sidelengde plate 1} \right)\right)^{2} \\ &= 0{,}9^{2} \cdot A_{1} = 0{,}9^{2} \cdot 19=0{,}81 \cdot 19 \end{aligned}

Arealene danner altså en geometrisk rekke med kvotient $k=0{,}81$ og $A_{1}=19$ . Summen av rekka er gitt ved

S=\frac{a_{1}}{1-k}=\frac{19}{1-0{,}81}=\frac{19}{0{,}19}=100

Det samlede arealet kunne blitt $\underline{\underline{ 100 \mathrm{~m^{2}} }}$ hvis Vilfred kunne brukt uendelig mange plater. I praksis vil det samlede arealet bli veldig nærme 100 m² dersom han bruker mange plater.

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å sette opp rekken og 1 poeng for å finne riktig antall plater. Kandidater som angir rekken ved formelen for det $n$ -te leddet eller ved å sette opp de første leddene får uttelling. Både rekker som viser summen av omkretsene og rekker som viser summen av en side per plate gir poeng.

2 poeng

Kandidater som har satt opp den geometriske rekken feil, men som har regnet riktig ut fra egen geometrisk rekke, kan få 1 poeng. Tilsvarende kan kandidater som har satt opp den geometriske rekken riktig, men regnet noe feil få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: aritmetisk rekke, geometrisk rekke, sumformel
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker