Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \cos 2 x, D_{f} = [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

På figuren til høyre har vi tegnet grafen til $f$ sammen med linjen gitt ved $y = \frac{1}{2}$ . Disse to avgrenser det fargelagte området, som vist på figuren.

Fargelagt område mellom cos2x og y=1/2

Bestem arealet av det fargelagte området.

Bruk formelen $\cos (u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v$

Bruk formelen til å vise at

{(f (x))}^{2} = \frac{1}{2} \cdot (\cos 4 x + 1)

Vi roterer det fargelagte området på figuren om $x$ -aksen og får et omdreiingslegeme.

Bestem volumet av dette omdreiingslegemet.

Fasit

$Areal = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6} \approx 0,34 a.e.$

Se bevis.

$V = \frac{\sqrt{3} π}{8} + \frac{π^{2}}{12} \approx 1,50 v.e.$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først skjæringspunktene mellom $f (x) = \cos 2 x$ og $y = \frac{1}{2}$ :

\cos 2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 x = \pm \frac{π}{3} + 2 k π \Rightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π

I intervallet $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ gir dette $x = - \frac{π}{6}$ og $x = \frac{π}{6}$ . Mellom disse er $\cos 2 x \geq \frac{1}{2}$ , så arealet er

Areal = \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} (\cos 2 x - \frac{1}{2}) d x = {[\frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{x}{2}]}_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}

= (\frac{1}{2} \sin \frac{π}{3} - \frac{π}{12}) - (\frac{1}{2} \sin (- \frac{π}{3}) + \frac{π}{12}) = (\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{π}{12}) - (- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{π}{12})

= \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6}

$Areal = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{π}{6} \approx 0,34 a.e.$

Formelen $\cos (u + v) = \cos u \cdot \cos v - \sin u \cdot \sin v$ gir, med $u = v = 2 x$ ,

\cos 4 x = \cos (2 x + 2 x) = \cos 2 x \cdot \cos 2 x - \sin 2 x \cdot \sin 2 x = \cos^{2} 2 x - \sin^{2} 2 x

Vi bruker $\sin^{2} 2 x = 1 - \cos^{2} 2 x$ :

\cos 4 x = \cos^{2} 2 x - (1 - \cos^{2} 2 x) = 2 \cos^{2} 2 x - 1

Løser for $\cos^{2} 2 x = {(f (x))}^{2}$ :

{(f (x))}^{2} = \cos^{2} 2 x = \frac{1}{2} (\cos 4 x + 1)

Dette er det vi skulle vise. $■$

Når det fargelagte området roteres om $x$ -aksen, er volumet gitt ved

V = π \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} ({(f (x))}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}) d x

Vi setter inn resultatet fra b):

V = π \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} (\frac{1}{2} \cos 4 x + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}) d x = π \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} (\frac{1}{2} \cos 4 x + \frac{1}{4}) d x

= π {[\frac{1}{8} \sin 4 x + \frac{x}{4}]}_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}

= π ((\frac{1}{8} \sin \frac{2 π}{3} + \frac{π}{24}) - (\frac{1}{8} \sin (- \frac{2 π}{3}) - \frac{π}{24})) = π (\frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{π}{12})

V = \frac{\sqrt{3} π}{8} + \frac{π^{2}}{12}

$V = \frac{\sqrt{3} π}{8} + \frac{π^{2}}{12} \approx 1,50 v.e.$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2023, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Trigonometri, Bevis

Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Areal og omdreiningslegeme for cos2x og y=halvparten

Lov på eksamen

Temaer