Areal mellom cosinus og sinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren nedenfor viser grafene til funksjonene $f$ og $g$ , der $f (x) = \cos x$ og $g (x) = \sin x$ .

Grafene til f(x) = cos x og g(x) = sin x med fargelagt område

Bestem arealet av det fargelagte området vist på figuren.

Fasit

$A = 2 \sqrt{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Fra figuren ser vi at det fargelagte området er mellom kurvene $g (x) = \sin x$ og $f (x) = \cos x$ , der $\sin x \geq \cos x$ .

Vi finner skjæringspunktene ved å løse $\sin x = \cos x$ , det vil si $\tan x = 1$ . I intervallet $[0, 2 π]$ gir dette $x = \frac{π}{4}$ og $x = \frac{5 π}{4}$ .

I intervallet $⟨ \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4} ⟩$ er $\sin x \geq \cos x$ , så arealet er

A = \int_{π / 4}^{5 π / 4} (\sin x - \cos x) d x

Vi integrerer:

A = {[- \cos x - \sin x]}_{π / 4}^{5 π / 4}

Setter inn øvre grense $x = \frac{5 π}{4}$ :

- \cos \frac{5 π}{4} - \sin \frac{5 π}{4} = - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) - (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

Setter inn nedre grense $x = \frac{π}{4}$ :

- \cos \frac{π}{4} - \sin \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = - \sqrt{2}

Dermed blir arealet

A = \sqrt{2} - (- \sqrt{2}) = 𝟐 \sqrt{𝟐}

Arealet av det fargelagte området er $2 \sqrt{2} \approx 2,83$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng for rett strategi for å bestemme $x$ -verdiene til skjæringspunkta, 1 poeng for å regne ut disse korrekt, 1 poeng for å sette opp rett integral og 1 poeng for å regne ut arealet korrekt.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2023, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Areal under graf, Trigonometri
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Areal mellom cosinus og sinus

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal mellom cosinus og sinus

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal mellom cosinus og sinus

Areal mellom cosinus og sinus

Lov på eksamen

Temaer