Areal av firkant med trigonometri

Figur med firkant ABCD

Gitt figuren ovenfor.

For hånd

Gjør beregninger og vis at $A C = 3$ .

For hånd

Bestem arealet av firkanten $A B C D$ . Gi svaret eksakt.

Fasit

Vis ved beregning

$\frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

I trekant $A D C$ : $∠ D = 120 °$ , $∠ D C A = 30 °$ , $D C = \sqrt{3}$ .

$∠ D A C = 180 ° - 120 ° - 30 ° = 30 °$

Sinussetningen: $\frac{A C}{\sin 120 °} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 30 °} ⟹ A C = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 ■$

Areal av $A D C$ : Siden $∠ D A C = ∠ D C A = 30 °$ er $A D = D C = \sqrt{3}$ .

T_{A D C} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 120 ° = \frac{3 \sqrt{3}}{4}

Areal av $A B C$ : $B C = \sqrt{6}$ , $A C = 3$ , $∠ B A C = 45 °$ .

\sin (∠ A B C) = \frac{A C \cdot \sin 45 °}{B C} = \frac{3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ⟹ ∠ A B C = 60 °

$∠ A C B = 180 ° - 45 ° - 60 ° = 75 °$

T_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot 3 \cdot \sin 75 ° = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2 \sqrt{2}} = \frac{9 + 3 \sqrt{3}}{4}

Totalt:

T_{A B C D} = \frac{3 \sqrt{3}}{4} + \frac{9 + 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver trigonometrisk setning som er brukt på en riktig måte. For å få full uttelling, må kandidaten legge sammen arealene av de to trekantene og gi svaret eksakt.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2025, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Geometri, Trigonometri
Kompetansemål: Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga

Areal av firkant med trigonometri

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal av firkant med trigonometri

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal av firkant med trigonometri

Areal av firkant med trigonometri

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer