Areal av firkant ABCD med trigonometri

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor.

Firkant ABCD med AB = 8{,}0 og DC = 12{,}0

Læreren har delt klassen i grupper og gitt hver gruppe noen opplysninger i tillegg til informasjonen som kan leses ut fra figuren.

Gruppen til Isabel har fått vite at $A D = 6,0$ , $B C = 10,0$ og at diagonalen $A C = 16,4$ .

Kalkulator

Vis hvordan gruppen til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Gruppen til Anniken har fått vite at $∠ A = 62,5 °$ , $∠ C = 38,3 °$ , $∠ A B D = 45,5 °$ og $∠ C B D = 85,5 °$ .

Kalkulator

Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Fasit

$Areal \approx 58,5 m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Utregningene er gjort i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS-utregning for begge deloppgavene

Vi deler firkanten $A B C D$ i to trekanter ved å trekke diagonalen $A C$ .

Trekant $A B C$ — finn $∠ B$ med cosinussetningen:

Vi kjenner alle tre sidene $A B = 8,0$ , $B C = 10,0$ og $A C = 16,4$ , og bruker cosinussetningen til å finne $∠ A B C$ :

\cos (∠ B) = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C} = \frac{64 + 100 - 268,96}{160} \approx - 0,656

∠ B \approx 131,0 °

Areal av $△ A B C$ med arealsetningen:

T_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot \sin (∠ B) = \frac{1}{2} \cdot 8,0 \cdot 10,0 \cdot \sin (131,0 °) \approx 30,2

Trekant $A C D$ — finn $∠ D$ med cosinussetningen:

Vi kjenner $A D = 6,0$ , $D C = 12,0$ og $A C = 16,4$ :

\cos (∠ D) = \frac{A D^{2} + D C^{2} - A C^{2}}{2 \cdot A D \cdot D C} = \frac{36 + 144 - 268,96}{144} \approx - 0,618

∠ D \approx 128,2 °

Areal av $△ A C D$ med arealsetningen:

T_{A C D} = \frac{1}{2} \cdot A D \cdot D C \cdot \sin (∠ D) = \frac{1}{2} \cdot 6,0 \cdot 12,0 \cdot \sin (128,2 °) \approx 28,3

Totalt areal:

T_{A B C D} = T_{A B C} + T_{A C D} \approx 30,2 + 28,3 \approx 58,5 m^{2}

Vi deler firkanten $A B C D$ i to trekanter ved å trekke diagonalen $B D$ .

Trekant $A B D$ — finn $B D$ med sinussetningen:

Vinklene i $△ A B D$ er $∠ A = 62,5 °$ , $∠ A B D = 45,5 °$ , og dermed:

∠ A D B = 180 ° - 62,5 ° - 45,5 ° = 72,0 °

Vi bruker sinussetningen med den kjente siden $A B = 8,0$ :

\frac{B D}{\sin (∠ A)} = \frac{A B}{\sin (∠ A D B)} ⟹ B D = \frac{8,0 \cdot \sin (62,5 °)}{\sin (72,0 °)} \approx 7,46

Areal av $△ A B D$ med arealsetningen:

T_{A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B D \cdot \sin (∠ A B D) = \frac{1}{2} \cdot 8,0 \cdot 7,46 \cdot \sin (45,5 °) \approx 21,3

Trekant $B C D$ — finn $∠ B D C$ :

Vinklene er $∠ C = 38,3 °$ , $∠ C B D = 85,5 °$ , og dermed:

∠ B D C = 180 ° - 38,3 ° - 85,5 ° = 56,2 °

Areal av $△ B C D$ med arealsetningen:

T_{B C D} = \frac{1}{2} \cdot B D \cdot D C \cdot \sin (∠ B D C) = \frac{1}{2} \cdot 7,46 \cdot 12,0 \cdot \sin (56,2 °) \approx 37,2

Totalt areal:

T_{A B C D} = T_{A B D} + T_{B C D} \approx 21,3 + 37,2 \approx 58,5 m^{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som har gjort noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker flere opplysninger enn gruppa til Isabel har tilgang til, får ingen uttelling.

En kandidat som har gjort noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker flere opplysninger enn gruppa til Anniken har tilgang til, får ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2024, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Areal og omkrets, Cosinussetningen, Arealsetningen
Kompetansemål: Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga

Areal av firkant ABCD med trigonometri

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Areal av firkant ABCD med trigonometri

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Areal av firkant ABCD med trigonometri

Areal av firkant ABCD med trigonometri

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer