Antiderivasjon og areal mellom grafer S2 V26

Du får vite dette om en funksjon $f$

Bestem $f (x)$ .

To andre funksjoner, $g$ og $h$ , er gitt ved $g (x) = x$ og $h (x) = - \frac{3}{x} + 4$ for $x > 0$ .

Finn arealet av området som er avgrenset av grafene til $g$ og $h$ .

Fasit

$f (x) = - \frac{2}{x} + 3$

$4 - 3 \ln 3$

Løsningsforslag

Vi kan finne antideriverte til $f^{'} (x)$ ved å integrere.

f (x) = \int \frac{2}{x^{2}} d x = 2 \int x^{- 2} d x = 2 \cdot \frac{1}{- 1} x^{- 1} + C = - \frac{2}{x} + C

Funksjonen vår må også gå gjennom $(2,2)$ , derfor kan vi sette opp en likning for å bestemme $C$ :

\begin{matrix} f (2) & = - \frac{2}{2} + C \\ 2 & = - 1 + C \\ 2 + 1 & = C \\ C & = 3 \end{matrix}

f (x) = - \frac{2}{x} + 3

Vi skal finne arealet mellom $g$ og $h$ . Vi finner først skjæringspunktet mellom grafene ved å sette dem lik hverandre og løse.

\begin{matrix} g & = h \\ x & = - \frac{3}{x} + 4 \\ x^{2} & = - 3 + 4 x \\ x^{2} - 4 x + 3 & = 0 \\ \underset{Heltallsmetode}{\underset{⏟}{(x - 1) (x - 3)}} & = 0 \\ x = 1 & \lor x = 3 \end{matrix}

Det avgrensede arealet ligger altså mellom $x = 1$ og $x = 3$ .

Vi setter opp integralet:

\begin{matrix} \int_{1}^{3} (h (x) - g (x)) d x \\ \int_{1}^{3} ((- \frac{3}{x} + 4) - (x)) d x \\ \int_{1}^{3} (- \frac{3}{x} - x + 4) d x \\ {[- 3 \ln | x | - \frac{1}{2} x^{2} + 4 x]}_{1}^{3} \\ (- 3 \ln 3 - \frac{1}{2} 3^{2} + 4 \cdot 3) - (- 3 \ln 1 - \frac{1}{2} 1^{2} + 4 \cdot 1) \\ (- 3 \ln 3 - \frac{1}{2} 9 + 12) - (0 - \frac{1}{2} + 4) \\ - 3 \ln 3 - \frac{9}{2} + 12 + \frac{1}{2} - 4 \\ - 3 \ln 3 - \frac{8}{2} + 8 \\ - 3 \ln 3 - 4 + 8 \\ - 3 \ln 3 + 4 \\ 4 - 3 \ln 3 \end{matrix}

Arealet er $4 - 3 \ln 3$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten kan få 1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å bruke initialbetingelsene riktig.

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng. Kandidater som gjør en liten regnefeil kan få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2026, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Areal mellom grafer
Kompetansemål: Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

Innstillinger