Andregrads differensiallikning med gitt løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt differensiallikningen

y^{''} + b \cdot y^{'} + c \cdot y = 0

Her er $b$ og $c$ to reelle tall.

Bestem $b$ og $c$ når du får vite at den generelle løsningen til differensiallikningen er

y (x) = e^{- x} (A \cos (2 x) + B \sin (2 x))

Bestem $A$ og $B$ når du får vite at $y (0) = 2$ og $y^{'} (0) = 6$ .

Fasit

$b = 2, c = 5$

$A = 2, B = 4$

LøsningsforslagKI-generert

Den karakteristiske likningen til $y^{''} + b \cdot y^{'} + c \cdot y = 0$ er

r^{2} + b \cdot r + c = 0

Når diskriminanten er negativ, har den komplekse røtter på formen

r = - \frac{b}{2} \pm i \sqrt{c - \frac{b^{2}}{4}}

og den generelle løsningen er da

y (x) = e^{- \frac{b}{2} x} (A \cos (\sqrt{c - \frac{b^{2}}{4}} x) + B \sin (\sqrt{c - \frac{b^{2}}{4}} x))

Sammenligner med den oppgitte løsningen $y (x) = e^{- x} (A \cos (2 x) + B \sin (2 x))$ :

- \frac{b}{2} = - 1 \Rightarrow b = 2

\sqrt{c - \frac{b^{2}}{4}} = 2 \Rightarrow c - 1 = 4 \Rightarrow c = 5

Vi bruker $y (0) = 2$ . Siden $\cos (0) = 1$ og $\sin (0) = 0$ :

y (0) = e^{0} (A \cdot 1 + B \cdot 0) = A

A = 2

Deriverer $y (x) = e^{- x} (A \cos (2 x) + B \sin (2 x))$ med produktregelen:

y^{'} (x) = - e^{- x} (A \cos (2 x) + B \sin (2 x)) + e^{- x} (- 2 A \sin (2 x) + 2 B \cos (2 x))

Setter inn $x = 0$ :

y^{'} (0) = - A + 2 B

Bruker $y^{'} (0) = 6$ og $A = 2$ :

- 2 + 2 B = 6

2 B = 8 \Rightarrow B = 4

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2021, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Trigonometri

Innstillinger