Overskuddsfunksjon og lavest enhetskostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Totalkostnaden $K$ (i kroner) ved produksjon av en vare er gitt ved

K(x) = 0{,}025x^2 + 80x + 4000, \quad 0 < x < 2000

Her er $x$ antall produserte enheter per uke. Inntekten i kroner ved denne produksjonen er gitt ved

I(x) = -0{,}015x^2 + 150x, \quad 0 < x < 2000

Bestem funksjonsuttrykket for overskuddsfunksjonen $O$ . Bruk graftegner til å tegne grafen til overskuddsfunksjonen for $0 < x < 2000$ .

Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Bruk CAS til å bestemme den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.

Fasit

$O(x) = -0{,}04x^2 + 70x - 4000$

$\underline{\underline{x = 875}}$ enheter gir størst overskudd $\underline{\underline{O(875) = 26\,625 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{x = 400}}$ enheter gir lavest enhetskostnad $\underline{\underline{E(400) = 100 \, \mathrm{kr/enhet}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddsfunksjonen er differansen mellom inntekt og kostnad:

O(x) = I(x) - K(x) = \left(-0{,}015x^2 + 150x\right) - \left(0{,}025x^2 + 80x + 4000\right)

\underline{\underline{O(x) = -0{,}04x^2 + 70x - 4000}}

Grafen er tegnet med graftegner for $0 < x < 2000$ :

Graf for overskuddsfunksjonen O(x)

Se O i utklippet. Toppunktet B = (875, 26625) viser størst overskudd, og nullpunktet A ≈ (59, 0) viser der overskuddet begynner å være positivt.

Vi finner toppunktet ved å derivere og sette $O'(x) = 0$ :

O'(x) = -0{,}08x + 70 = 0 \implies x = \frac{70}{0{,}08} = 875

O(875) = -0{,}04 \cdot 875^2 + 70 \cdot 875 - 4000 = 26\,625

Produksjonsmengden $\underline{\underline{x = 875}}$ enheter per uke gir størst overskudd på $\underline{\underline{26\,625 \, \mathrm{kr}}}$ .

Enhetskostnaden (kostnad per produsert enhet) er:

E(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{0{,}025x^2 + 80x + 4000}{x} = 0{,}025x + 80 + \frac{4000}{x}

Vi bruker CAS til å finne minimum:

CAS-utregning for enhetskostnad

CAS gir $x = 400$ (positiv løsning) og $E(400) = 100$ .

Produksjonsmengden $\underline{\underline{x = 400}}$ enheter per uke gir lavest kostnad per enhet: $\underline{\underline{100 \, \mathrm{kr/enhet}}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2018, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon

Overskuddsfunksjon og lavest enhetskostnad

Sync på tvers av enheter

Overskuddsfunksjon og lavest enhetskostnad

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave