Modellering av skadedyr med logistisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et forskerteam utfører en rekke forsøk der de lar skadedyr invadere ulike typer bolighus. For ett av disse husene er antall dyr etter $t$ dager gitt i tabellen nedenfor.

$t$ (dager)	10	20	30	40	50	60
Antall skadedyr	35	130	245	289	297	300

Lag en funksjon $g$ som beskriver sammenhengen mellom tiden $t$ og antall skadedyr i dette huset.

For en annen hustype er funksjonen $f$ gitt ved

f(t) = \frac{240}{1 + 39 \cdot e^{-0{,}15t}} - 6, \quad \text{der } t \geq 10

en god modell for antall skadedyr i huset. Her er $t$ antall dager etter at huset ble invadert.

Når øker antall skadedyr raskest ifølge modellen $f$ ? Hvor stor er vekstfarten da?

En huseier oppdaget skadedyr i huset sitt. Skadedyrkontrollen fant ut at det var rundt 200 skadedyr i huset. Kontrolløren mener at modellen $f$ ovenfor vil passe godt for å bestemme antall skadedyr i dette huset.

Hvor lenge hadde det vært skadedyr i huset da det ble kontrollert?

Fasit

$\underline{\underline{g(t) = \dfrac{300}{1 + 44{,}3 \cdot e^{-0{,}176t}}}}$

Raskest vekst etter $\underline{\underline{t \approx 24{,}4 \text{ dager}}}$ , vekstfart $\underline{\underline{9 \text{ skadedyr per dag}}}$

Det hadde vært skadedyr i huset i ca. $\underline{\underline{36 \text{ dager}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker logistisk regresjon (RegLogistisk):

g(t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{-bt}}

GeoGebra gir parametrene $N \approx 300$ , $a \approx 44{,}3$ og $b \approx 0{,}176$ , slik at

\underline{\underline{g(t) = \frac{300}{1 + 44{,}3 \cdot e^{-0{,}176t}}}}

Se g (blå kurve) i grafen under.

Graf med g(t) og f(t)

Vi finner vendepunktet til $f$ ved hjelp av CAS (Vendepunkt(f)):

f(t) = \frac{240}{1 + 39 \cdot e^{-0{,}15t}} - 6

CAS-utregning

CAS gir vendepunktet $\approx (24{,}42,\ 114)$ .

Alternativt: Den logistiske delen $\dfrac{240}{1+39e^{-0{,}15t}}$ har vendepunkt der nevnerleddet er lik 1, dvs. $39 \cdot e^{-0{,}15t} = 1$ , som gir

t = \frac{\ln 39}{0{,}15} \approx 24{,}4 \text{ dager}

Vekstfarten ved vendepunktet leses av fra CAS ( $f'(24{,}42) \approx 9$ ), eller beregnes som

f'_{\max} = \frac{N \cdot r}{4} = \frac{240 \cdot 0{,}15}{4} = \mathbf{9 \text{ skadedyr per dag}}

Antall skadedyr øker raskest etter $\underline{\underline{t \approx 24{,}4 \text{ dager}}}$ , og vekstfarten er da $\underline{\underline{9 \text{ skadedyr per dag}}}$ .

Skadedyrkontrollen fant ca. 200 dyr. Vi løser $f(t) = 200$ med CAS (Løs(f(t) = 200, t)):

\frac{240}{1 + 39 \cdot e^{-0{,}15t}} - 6 = 200

CAS gir $t \approx 36{,}43$ , og fra grafen over ser vi at $f$ skjærer linjen $y = 200$ i punktet $A = (36{,}43,\ 200)$ .

Det hadde vært skadedyr i huset i ca. $\underline{\underline{36 \text{ dager}}}$ da det ble kontrollert.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2018, del 2, oppgave 2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Logistisk vekst, Derivasjon

Modellering av skadedyr med logistisk funksjon

Sync på tvers av enheter

Modellering av skadedyr med logistisk funksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave