Terningspill med forventning og normaltilnærming

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven kan du få bruk for tabellen over standard normalfordeling i vedlegg 1.

Du skal arrangere et spill der spilleren kaster en terning. Gevinsten er bestemt av antall øyne terningen viser.

Ett eller to øyne gir 0 kroner i gevinst.
Tre eller fire øyne gir 20 kroner i gevinst.
Fem øyne gir 60 kroner i gevinst.
Seks øyne gir 200 kroner i gevinst.

La $X$ være gevinsten spilleren får når terningen kastes én gang.

Lag en tabell som viser sannsynlighetsfordelingen til $X$ .

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ . Vis at standardavviket er $\text{SD}(X) = 70$ .

Hva må prisen per spill være for at du som arrangør i det lange løp skal få et gjennomsnittlig overskudd på 10 kr per spill?

Vi antar at du heretter arrangerer spillet med et forventet gjennomsnittlig overskudd på 10 kr per spill. En spiller deltar i 100 spill. La $Y_i$ være nettogevinsten i spill nummer $i$ . Den totale nettogevinsten er da gitt ved

S = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{100}

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Vis at $\text{E}(S) = -1000$ og $\text{SD}(S) = 700$ .

Bestem sannsynligheten for at spilleren går i overskudd med de 100 spillene.

Fasit

Se tabell i løsningsforslaget.

$\underline{\underline{\text{E}(X) = 50 \, \mathrm{kr}}}$ , $\text{SD}(X) = 70 \, \mathrm{kr}$

$\underline{\underline{60 \, \mathrm{kr}}}$ per spill

Sentralgrenseteoremet: summen av mange uavhengige, likt fordelte variabler er tilnærmet normalfordelt.

$\underline{\underline{\text{E}(S) = -1000 \, \mathrm{kr}}}$ , $\underline{\underline{\text{SD}(S) = 700 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{P(S > 0) \approx 7{,}7 \,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være gevinsten ved ett kast. Vi finner sannsynligheten for hvert utfall:

1 eller 2 øyne: sannsynlighet $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , gevinst 0 kr
3 eller 4 øyne: sannsynlighet $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , gevinst 20 kr
5 øyne: sannsynlighet $\frac{1}{6}$ , gevinst 60 kr
6 øyne: sannsynlighet $\frac{1}{6}$ , gevinst 200 kr

$x$	$0$	$20$	$60$	$200$
$P(X = x)$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{6}$	$\dfrac{1}{6}$

Vi beregner forventningsverdien:

\text{E}(X) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 20 \cdot \frac{1}{3} + 60 \cdot \frac{1}{6} + 200 \cdot \frac{1}{6}

= \frac{20}{3} + 10 + \frac{200}{6} = \frac{40}{6} + \frac{60}{6} + \frac{200}{6} = \frac{300}{6} = \mathbf{50}

$\text{E}(X) = 50 \, \mathrm{kr}$

For standardavviket beregner vi først $\text{E}(X^2)$ :

\text{E}(X^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{3} + 20^2 \cdot \frac{1}{3} + 60^2 \cdot \frac{1}{6} + 200^2 \cdot \frac{1}{6}

= \frac{400}{3} + \frac{3600}{6} + \frac{40000}{6} = \frac{800}{6} + \frac{3600}{6} + \frac{40000}{6} = \frac{44400}{6} = 7400

Variansen blir:

\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = 7400 - 50^2 = 7400 - 2500 = 4900

Standardavviket:

\text{SD}(X) = \sqrt{4900} = \mathbf{70}

Arrangørens overskudd per spill er $P - X$ , der $P$ er prisen per spill. Forventet overskudd er:

\text{E}(P - X) = P - \text{E}(X) = P - 50

For at det forventede overskuddet skal være minst 10 kr:

P - 50 \geq 10 \implies P \geq 60

Prisen må være $60 \, \mathrm{kr}$ per spill.

La $Y_i = X_i - 60$ være nettogevinsten for spilleren i spill $i$ . De 100 spillene er uavhengige og $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{100}$ er identisk fordelte.

Ifølge sentralgrenseteoremet vil summen $S = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_{100}$ av mange uavhengige, identisk fordelte variabler være tilnærmet normalfordelt, uansett hvilken fordeling de enkelte $Y_i$ har.

Siden $Y_i = X_i - 60$ og $\text{E}(X) = 50$ :

\text{E}(Y_i) = \text{E}(X_i) - 60 = 50 - 60 = -10

Forventningsverdien til summen:

\text{E}(S) = 100 \cdot \text{E}(Y_i) = 100 \cdot (-10) = \mathbf{-1000}

Siden $Y_i = X_i - 60$ er en translasjon av $X_i$ , er standardavviket det samme:

\text{SD}(Y_i) = \text{SD}(X_i) = 70

For summen av 100 uavhengige variabler:

\text{SD}(S) = \sqrt{100} \cdot \text{SD}(Y_i) = 10 \cdot 70 = \mathbf{700}

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = -1000$ og $\sigma = 700$ .

Spilleren går i overskudd når $S > 0$ . Vi standardiserer:

z = \frac{0 - (-1000)}{700} = \frac{1000}{700} \approx 1{,}43

P(S > 0) = P\!\left(Z > 1{,}43\right) = 1 - \Phi(1{,}43)

Fra tabellen over standard normalfordeling: $\Phi(1{,}43) \approx 0{,}9236$

P(S > 0) \approx 1 - 0{,}9236 = 0{,}0764 \approx \mathbf{7{,}7 \,\%}

Sannsynligheten for at spilleren går i overskudd er omtrent $7{,}7 \,\%$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2018, del 1, oppgave 7
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Sannsynlighet, Forventningsverdi, Normalfordeling

Terningspill med forventning og normaltilnærming

Sync på tvers av enheter

Terningspill med forventning og normaltilnærming

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave