Terningspill med nettogevinst

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et spill kastes to vanlige terninger. Premien i spillet avgjøres av samlet sum øyne på de to terningene.

Hvis summen er 11 eller 12, er premien 100 kroner.
Hvis summen er 9 eller 10, er premien 50 kroner.
Hvis summen er 7 eller 8, er premien 15 kroner.
Hvis summen er 6 eller mindre, er det ingen premie.

Det koster 10 kroner å delta i ett spill.

La $X$ være nettogevinsten i ett spill, det vil si premien fratrukket 10 kroner.

Forklar at $P(X=5) = \dfrac{11}{36}$

Skriv av tabellen nedenfor, og fyll ut det som mangler.

$x$	$-10$	$5$	$40$	$90$
$P(X=x)$		$\dfrac{11}{36}$

Vil det i lengden lønne seg å spille dette spillet? Gjør beregninger som understøtter svaret ditt.

Fasit

Sum 7 gir 6 utfall, sum 8 gir 5 utfall; $\frac{6+5}{36} = \frac{11}{36}$ .

$P(X=-10) = \dfrac{15}{36}$ , $P(X=40) = \dfrac{7}{36}$ , $P(X=90) = \dfrac{3}{36}$

$\underline{\underline{\text{E}(X) = \dfrac{455}{36} \approx 12{,}64 \, \mathrm{kr}}}$ — spillet lønner seg i lengden.

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaster to terninger. Det totale utfallsrommet består av $6 \cdot 6 = 36$ like sannsynlige utfall.

$X = 5$ betyr at premien er $15 \, \mathrm{kr}$ , altså at summen av de to terningene er 7 eller 8.

Utfall som gir sum 7: $(1,6),\,(2,5),\,(3,4),\,(4,3),\,(5,2),\,(6,1)$ — det er $6$ utfall.

Utfall som gir sum 8: $(2,6),\,(3,5),\,(4,4),\,(5,3),\,(6,2)$ — det er $5$ utfall.

Til sammen er det $6 + 5 = 11$ gunstige utfall, og derfor er

P(X = 5) = \frac{11}{36}

Vi teller utfall på samme måte for de øvrige verdiene av $X$ .

$X = 40$ (premie $50 \, \mathrm{kr}$ , sum 9 eller 10):

Sum 9: $(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$ — 4 utfall
Sum 10: $(4,6),(5,5),(6,4)$ — 3 utfall

P(X = 40) = \frac{4+3}{36} = \frac{7}{36}

$X = 90$ (premie $100 \, \mathrm{kr}$ , sum 11 eller 12):

Sum 11: $(5,6),(6,5)$ — 2 utfall
Sum 12: $(6,6)$ — 1 utfall

P(X = 90) = \frac{2+1}{36} = \frac{3}{36}

$X = -10$ (ingen premie, sum 6 eller mindre):

Siden alle sannsynlighetene må summere til 1:

P(X = -10) = 1 - \frac{11}{36} - \frac{7}{36} - \frac{3}{36} = \frac{36 - 21}{36} = \frac{15}{36}

Den fullstendige sannsynlighetsfordelingen er:

$x$	$-10$	$5$	$40$	$90$
$P(X=x)$	$\dfrac{15}{36}$	$\dfrac{11}{36}$	$\dfrac{7}{36}$	$\dfrac{3}{36}$

Vi beregner forventningsverdien $\text{E}(X)$ med GeoGebra CAS:

\text{E}(X) = 90 \cdot \frac{3}{36} + 40 \cdot \frac{7}{36} + 5 \cdot \frac{11}{36} + (-10) \cdot \frac{15}{36}

GeoGebra CAS: beregning av E(X)

Fra utklippet ser vi at

\text{E}(X) = \frac{455}{36} \approx 12{,}64 \, \mathrm{kr}

Siden $\text{E}(X) \approx 12{,}64 \, \mathrm{kr} > 0$ , vil man i gjennomsnitt tjene om lag $12{,}64 \, \mathrm{kr}$ per spill. Det lønner seg altså i lengden å spille dette spillet.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2011, del 2, oppgave 4
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet, Kombinatorikk

Terningspill med nettogevinst

Sync på tvers av enheter

Terningspill med nettogevinst

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave