Mattilsynet og binomisk hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mattilsynet kontrollerer blant annet kvaliteten på matvarer. På landsbasis har det vist seg at gjennomsnittlig 15 % av pakningene av en bestemt type mat har for dårlig kvalitet.

I et distrikt planlegger Mattilsynet å kontrollere 120 pakninger med denne maten. Vi ser på kontrollen som et binomisk forsøk med $n = 120$ og $p = 0{,}15$ .

Bestem sannsynligheten for at akkurat 18 av de kontrollerte pakningene har for dårlig kvalitet.

Bestem sannsynligheten for at minst 20 av pakningene har for dårlig kvalitet.

I kontrollen viser det seg at 21 av de 120 pakningene ikke oppfylte kvalitetskravene. Mattilsynet vil undersøke om dette høye tallet kan skyldes tilfeldigheter, eller om det virkelig er slik at mer enn 15 % av pakningene har for dårlig kvalitet i dette distriktet.

Vi lar $p$ være sannsynligheten for at en tilfeldig utvalgt pakning har for dårlig kvalitet.

Bruk hypotesetesting, og vurder om kontrollen gir grunnlag for å påstå at kvaliteten på denne matvaren er dårligere i dette distriktet enn ellers i landet. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$\underline{\underline{P(X = 18) \approx 0{,}1015}}$

$\underline{\underline{P(X \geq 20) \approx 0{,}3414}}$

p-verdien $\approx 0{,}2557 > 0{,}05$ . Vi forkaster ikke $H_0$ — kontrollen gir ikke grunnlag for å påstå at kvaliteten er dårligere i dette distriktet.

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er binomisk fordelt med $n = 120$ og $p = 0{,}15$ .

Vi bruker GeoGebra CAS til alle beregningene:

GeoGebra CAS – binomisk fordeling

Vi beregner punktsannsynligheten $P(X = 18)$ :

P(X = 18) = \text{FordelingBinomisk}(120;\; 0{,}15;\; 18;\; \text{false}) \approx 0{,}1015

Sannsynligheten for at akkurat 18 av de 120 pakningene har for dårlig kvalitet er $\underline{\underline{P(X = 18) \approx 0{,}1015}}$ , dvs. ca. $10{,}15 \,\%$ .

Vi beregner $P(X \geq 20) = 1 - P(X \leq 19)$ :

P(X \geq 20) = 1 - \text{FordelingBinomisk}(120;\; 0{,}15;\; 19;\; \text{true}) \approx 0{,}3414

Sannsynligheten for at minst 20 av pakningene har for dårlig kvalitet er $\underline{\underline{P(X \geq 20) \approx 0{,}3414}}$ , dvs. ca. $34{,}1 \,\%$ .

Vi setter opp hypotesetesten:

H_0\colon p = 0{,}15 \qquad H_1\colon p > 0{,}15

Signifikansnivå: $\alpha = 0{,}05$ .

Vi observerte $x = 21$ pakninger med for dårlig kvalitet. Siden $H_1$ er ensidig (vi tester om $p$ er større enn $0{,}15$ ), er p-verdien sannsynligheten for å observere minst 21 pakninger dersom $H_0$ er sann:

\text{p-verdi} = P(X \geq 21) = 1 - P(X \leq 20)

= 1 - \text{FordelingBinomisk}(120;\; 0{,}15;\; 20;\; \text{true}) \approx 0{,}2557

Siden p-verdien $0{,}2557 > 0{,}05 = \alpha$ , forkaster vi ikke $H_0$ .

Konklusjon: p-verdien er ca. $25{,}6 \,\%$ , som er høyere enn signifikansnivået på $5 \,\%$ . Vi forkaster ikke $H_0$ . Kontrollen gir ikke statistisk grunnlag for å påstå at kvaliteten på matvaren er dårligere i dette distriktet enn ellers i landet.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2011, del 2, oppgave 5
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet

Mattilsynet og binomisk hypotesetest

Sync på tvers av enheter

Mattilsynet og binomisk hypotesetest

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave