Harebestand med logistisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En modell for antall harer innenfor et lukket område er gitt ved

N(t) = 700 - C \cdot e^{-kt}

der $t$ er antall år etter at tellingene begynte, og $k > 0$ .

Ved to tellinger fant man ut at $N(0) = 400$ og $N(5) = 600$ .

Bruk resultatet av de to tellingene til å vise at $C = 300$ og $k \approx 0{,}22$

Finn ved regning hvor lang tid det tar før det er 650 harer i området.

Tegn grafen til $N$ . Hvor mange harer vil det være i området når det har gått lang tid?

Bruk blant annet kjerneregelen til å bestemme $N'(5)$ . Hva forteller svaret oss?

Fasit

$C = 300$ , $k = \dfrac{\ln 3}{5} \approx 0{,}22$

$\underline{\underline{t \approx 8{,}1 \text{~år}}}$

$\underline{\underline{700 \mathrm{~harer}}}$ (horisontal asymptote $N = 700$ )

$\underline{\underline{N'(5) \approx 22 \text{~harer per år}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $N(0) = 400$ :

N(0) = 700 - C \cdot e^{0} = 700 - C = 400

C = 300

Vi setter inn $N(5) = 600$ med $C = 300$ :

700 - 300 \cdot e^{-5k} = 600

300 \cdot e^{-5k} = 100

e^{-5k} = \frac{1}{3}

-5k = \ln\!\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln 3

k = \frac{\ln 3}{5} \approx \frac{1{,}099}{5} \approx 0{,}22

Vi har vist at $C = 300$ og $k \approx 0{,}22$ .

Vi løser $N(t) = 650$ med GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – løser N(t) = 650

CAS gir $t \approx 8{,}14$ .

Det tar omtrent $\underline{\underline{8{,}1 \text{~år}}}$ før det er 650 harer i området.

Alternativt for hånd:

700 - 300 \cdot e^{-0{,}22t} = 650

300 \cdot e^{-0{,}22t} = 50

e^{-0{,}22t} = \frac{1}{6}

t = \frac{\ln 6}{0{,}22} \approx \frac{1{,}792}{0{,}22} \approx 8{,}1

Grafen til $N(t) = 700 - 300 \cdot e^{-0{,}22t}$ er tegnet i GeoGebra:

Graf av N(t) = 700 – 300·e^(–0,22t)

Når $t \to \infty$ går $e^{-0{,}22t} \to 0$ , og dermed $N(t) \to 700$ .

Grafen har en horisontal asymptote $N = 700$ .

Når det har gått lang tid, vil det være $\underline{\underline{700 \mathrm{~harer}}}$ i området.

Vi deriverer $N(t) = 700 - 300 \cdot e^{-0{,}22t}$ med kjerneregelen.

La $u = -0{,}22t$ , slik at $N = 700 - 300 \cdot e^{u}$ . Da er $u' = -0{,}22$ og $(e^u)' = e^u \cdot u'$ :

N'(t) = -300 \cdot e^{-0{,}22t} \cdot (-0{,}22) = 66 \cdot e^{-0{,}22t}

GeoGebra CAS bekrefter dette (se CAS-skjermbilde ovenfor, linje 3–4).

Vi regner ut $N'(5)$ :

N'(5) = 66 \cdot e^{-0{,}22 \cdot 5} = 66 \cdot e^{-1{,}1} \approx 66 \cdot 0{,}333 \approx 22

$\underline{\underline{N'(5) \approx 22 \text{~harer per år}}}$

Dette betyr at harebestanden øker med omtrent 22 harer per år etter 5 år.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter