Fotball hjørnespark og vektorer

En fotballspiller skal ta et hjørnespark (corner) på en fotballbane. Posisjonen $\vec{r}$ til ballen etter $t$ sekunder er gitt ved

\vec{r}(t) = [30t,\ 5t,\ 7t - 4{,}9t^2].

Her er posisjonen gitt i meter, og koordinatsystemet er lagt slik at origo er i hjørnet av fotballbanen, $x$ -aksen går langs kortsiden og $y$ -aksen går langs langsiden.

Hvor stor er farten til ballen idet den blir skutt?

Hvor langt fra hjørnemerket er ballen når den treffer fotballbanen igjen?

Hvor stor er farten til ballen når den er på sitt høyeste? Hvor høyt over fotballbanen er ballen da?

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024 › Oppgave 2-1

Fasit

$\underline{\underline{|\vec{v}(0)| = \sqrt{974} \approx 31{,}2 \, \mathrm{m/s}}}$

Ballen lander $\dfrac{50\sqrt{37}}{7} \approx 43{,}4 \, \mathrm{m}$ fra hjørnemerket.

$\underline{\underline{|\vec{v}| = 5\sqrt{37} \approx 30{,}4 \, \mathrm{m/s}}}$ , høyde $\underline{\underline{2{,}5 \, \mathrm{m}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å definere posisjonsvektoren og beregne alle størrelser.

GeoGebra CAS – hjørnespark-vektorer

Farten er lengden av hastighetsvektoren $\vec{v}(t) = \vec{r}'(t)$ .

Vi definerer $\vec{r}(t) = (30t,\ 5t,\ 7t - 4{,}9t^2)$ og deriverer (linje 1–2 i CAS).

Ved $t = 0$ (idet ballen sparkes) gir CAS:

\vec{v}(0) = (30,\ 5,\ 7)

|\vec{v}(0)| = \sqrt{30^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{900 + 25 + 49} = \sqrt{974} \approx 31{,}2

Farten til ballen idet den blir skutt er $\underline{\underline{\sqrt{974} \approx 31{,}2 \, \mathrm{m/s}}}$ .

Ballen treffer banen igjen når $z$ -koordinaten er 0 (og $t > 0$ ). Vi setter opp likningen

7t - 4{,}9t^2 = 0

CAS gir $t = 0$ eller $t = \dfrac{10}{7}$ s (linje 5). Vi bruker $t = \dfrac{10}{7}$ .

Posisjonen ved landing er (linje 6):

\vec{r}\!\left(\frac{10}{7}\right) = \left(\frac{300}{7},\ \frac{50}{7},\ 0\right)

Avstand fra origo (hjørnemerket) er lengden av $(x, y)$ -komponenten:

d = \sqrt{\left(\frac{300}{7}\right)^{\!2} + \left(\frac{50}{7}\right)^{\!2}} = \frac{50\sqrt{37}}{7} \approx 43{,}4

CAS bekrefter dette i linje 7.

Ballen er $\underline{\underline{\dfrac{50\sqrt{37}}{7} \approx 43{,}4 \, \mathrm{m}}}$ fra hjørnemerket når den treffer banen.

Ballen er på sitt høyeste når $z$ -komponenten av hastighetsvektoren er null:

v_z = 7 - 9{,}8t = 0 \implies t = \frac{5}{7} \, \mathrm{s}

CAS bekrefter $t = \dfrac{5}{7}$ i linje 8.

Da er hastighetsvektoren (linje 9):

\vec{v}\!\left(\frac{5}{7}\right) = (30,\ 5,\ 0)

Farten er (linje 10):

|\vec{v}| = \sqrt{30^2 + 5^2} = \sqrt{925} = 5\sqrt{37} \approx 30{,}4 \, \mathrm{m/s}

Høyden ved dette tidspunktet er:

z\!\left(\frac{5}{7}\right) = 7 \cdot \frac{5}{7} - 4{,}9 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^{\!2} = 5 - \frac{49}{10} \cdot \frac{25}{49} = 5 - 2{,}5 = 2{,}5

Farten på det høyeste punktet er $\underline{\underline{5\sqrt{37} \approx 30{,}4 \, \mathrm{m/s}}}$ , og ballen er da $\underline{\underline{2{,}5 \, \mathrm{m}}}$ over fotballbanen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2024, del 2, oppgave 1
Poeng: 6
Temaer: vektorer, modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet