Tre punkter på linje og rettvinklet trekant

Vi har gitt tre punkter $A(3, 4)$ , $B(-1, -2)$ og $C(3+t, 2t)$ der $t \in \mathbb{R}$ .

Bestem $t$ slik at punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje.

Bestem $t$ slik at punktene $A$ , $B$ og $C$ danner en trekant slik at $\angle C = 90\degree$ .

Fasit

$t = 8$

$t = \pm\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne $t$ slik at $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje. Det skjer når vektorene $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{AC}$ er parallelle.

Vi regner ut vektorene:

\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= B - A = (-1-3,\ -2-4) = (-4,\ -6) \\ \overrightarrow{AC} &= C - A = (3+t-3,\ 2t-4) = (t,\ 2t-4) \end{aligned}

To vektorer $(a_1, a_2)$ og $(b_1, b_2)$ er parallelle når $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$ (determinanten er null):

\begin{aligned} (-4)(2t-4) - (-6)(t) &= 0 \\ -8t + 16 + 6t &= 0 \\ -2t + 16 &= 0 \\ t &= 8 \end{aligned}

$t = \underline{\underline{8}}$

Vi skal finne $t$ slik at $\angle C = 90°$ . Det betyr at vektorene $\overrightarrow{CA}$ og $\overrightarrow{CB}$ er ortogonale, det vil si at prikkproduktet $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$ .

Vi regner ut vektorene:

\begin{aligned} \overrightarrow{CA} &= A - C = (3-(3+t),\ 4-2t) = (-t,\ 4-2t) \\ \overrightarrow{CB} &= B - C = (-1-(3+t),\ -2-2t) = (-4-t,\ -2-2t) \end{aligned}

Vi beregner prikkproduktet steg for steg:

\begin{aligned} \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &= (-t)(-4-t) + (4-2t)(-2-2t) \\ &= 4t + t^2 + (-8 - 8t + 4t + 4t^2) \\ &= 4t + t^2 - 8 - 4t + 4t^2 \\ &= 5t^2 - 8 \end{aligned}

Vi setter prikkproduktet lik null:

\begin{aligned} 5t^2 - 8 &= 0 \\ t^2 &= \frac{8}{5} \\ t &= \pm\sqrt{\frac{8}{5}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \pm\frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{5} = \pm\frac{2\sqrt{10}}{5} \end{aligned}

$t = \underline{\underline{\pm\dfrac{2\sqrt{10}}{5}}}$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2024, del 1, oppgave 4
Poeng: 4
Temaer: vektorer, geometri, likninger
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet