Derivasjon med produktregel og ln

Deriver funksjonen.

f(x) = 4x^2 \cdot \ln(3x)

Fasit

$f'(x)=4x \left( 2 \ln (3x) + 1 \right)$

Løsningsforslag

Vi ønsker å bruke produktregelen, men da må vi kunne derivere begge faktorene. Jeg må derivere $\ln(3x)$ ved å bruke kjerneregelen først ved å sette $u=3x$

\left( \ln (3x) \right)'= \left( \ln u \right)' \cdot u'=\frac{1}{u} \cdot 3 = \frac{3}{3x}=\frac{1}{x}

Vi bruker produktregelen.

\begin{aligned} f'(x)&=(4x^{2})' \cdot \ln(3x) + 4x^{2} \cdot \left( \ln(3x) \right)' \\ &= 8x \cdot \ln (3x) + 4x^{2} \cdot \frac{1}{x} \\ &= 8x \cdot \ln (3x) + 4x \\ &= 4x \left( 2 \ln (3x) + 1 \right) \end{aligned}

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2024, del 1, oppgave 1
Delt med: S1, R1
Poeng: 2
Temaer: derivasjon, logaritmer
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner