Vurdere Robinas polynomdivisjon og faktorisering
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Alle deloppgavene kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Gjør rede for hvordan du kan avgjøre om polynomet er delelig med , uten å utføre divisjonen.
Robina har utført følgende divisjon:
Vurder besvarelsen til Robina.
Robina mener at divisjonen hun har utført, viser at polynomet kan faktoriseres slik:
Grete viser Robina en skisse av grafen til polynomet.
Hvordan kan Grete ut fra denne skissen vurdere faktoriseringen som Robina har gjort?
Fasit
, så polynomet er delelig med
Robina har gjort en fortegnsfeil i første trekk; riktig kvotient er
Skissen har ett nullpunkt langt til venstre og to nullpunkter tett sammen nær bunnpunktet — det stemmer ikke med Robinas nullpunkter , og
LøsningsforslagKI-generert
La . Vi bruker faktorsetningen: er en faktor i hvis og bare hvis er et nullpunkt, altså . Vi trenger da ikke utføre selve divisjonen — det holder å sette inn i :
Siden , er delelig med .
Vi ser først på det aller første trekket i divisjonen:
Her skal vi trekke fra hele parentesen, altså både og . Det betyr at -leddet skal bli
Robina har i stedet regnet — hun har glemt å skifte fortegn på når hun trekker fra. Det er her feilen ligger. Riktig linje skal derfor være , ikke slik Robina har skrevet.
At Robina likevel ender opp med rest , er ikke et bevis på at svaret er riktig — det viser bare at feilene hennes tilfeldigvis “går opp” til slutt. Vi kan sjekke svaret hennes ved å multiplisere tilbake:
Siden dette ikke stemmer med det opprinnelige polynomet, er Robinas kvotient feil.
Utfører vi divisjonen riktig, får vi
slik at
Vi kan kontrollere: ✓.
Robinas faktorisering gir nullpunktene , og — tre nullpunkter som er nokså jevnt fordelt langs -aksen, med god avstand mellom hvert av dem.
Den riktige faktoriseringen er , altså
med nullpunktene , og : ett nullpunkt langt til venstre, og to nullpunkter som ligger tett sammen (bare fra hverandre) like til høyre for origo.
Grete kan se på skissen at grafen har nøyaktig dette mønsteret: kurven krysser -aksen én gang langt til venstre, stiger til et toppunkt, og synker deretter ned mot et bunnpunkt som ligger like ved og nesten berører -aksen — det vil si to nullpunkter tett sammen. Dette stemmer med nullpunktene , og , men ikke med Robinas nullpunkter , og , som ligger for jevnt fordelt til å gi en så trang “dukkert” ved bunnpunktet. Grete kan altså se ut fra formen på grafen, uten å regne, at Robinas faktorisering ikke kan være riktig.