Volum av omdreiningslegeme – kopp

Funksjonen er gitt ved

f(x) = \sqrt{x+4} \quad , \quad D_f = [0,10]

Innsiden av en kopp har samme form som vi får når vi dreier grafen til $f$ om førsteaksen i et koordinatsystem der enheten langs aksene er cm.

Hvor mye kakao er det plass til i koppen dersom den fylles helt opp?

Fasit

$V = 90\pi \approx 270 \, \mathrm{cm}^3$

Løsningsforslag

Koppen dannes når grafen til $f(x) = \sqrt{x+4}$ dreies om $x$ -aksen. Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved

V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, \mathrm{d}x

Her er $a = 0$ og $b = 10$ :

\begin{aligned} V &= \pi \int_0^{10} \left(\sqrt{x+4}\right)^2 \, \mathrm{d}x \\ &= \pi \int_0^{10} (x+4) \, \mathrm{d}x \\ &= \pi \left[\frac{x^2}{2} + 4x\right]_0^{10} \\ &= \pi \left(\frac{100}{2} + 40\right) \\ &= 90\pi \end{aligned}

Koppen rommer $\underline{\underline{90\pi \, \mathrm{cm}^3}}$ kakao. Det tilsvarer litt over $\underline{\underline{ 270 \, \mathrm{cm}^{3} }}$ .

Sensorveiledning

En riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: integral, geometri
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer