Volum av omdreiningslegeme – kopp

Funksjonen er gitt ved

f (x) = \sqrt{x + 4}, D_{f} = [0,10]

Innsiden av en kopp har samme form som vi får når vi dreier grafen til $f$ om førsteaksen i et koordinatsystem der enheten langs aksene er cm.

Hvor mye kakao er det plass til i koppen dersom den fylles helt opp?

Fasit

$V = 90 π \approx 270 {cm}^{3}$

Løsningsforslag

Koppen dannes når grafen til $f (x) = \sqrt{x + 4}$ dreies om $x$ -aksen. Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved

V = π \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x

Her er $a = 0$ og $b = 10$ :

\begin{matrix} V & = π \int_{0}^{10} {(\sqrt{x + 4})}^{2} d x \\ = π \int_{0}^{10} (x + 4) d x \\ = π {[\frac{x^{2}}{2} + 4 x]}_{0}^{10} \\ = π (\frac{100}{2} + 40) \\ = 90 π \end{matrix}

Koppen rommer $90 π {cm}^{3}$ kakao. Det tilsvarer litt over $270 {cm}^{3}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2025, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Integrasjon, Geometri
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

Innstillinger