Volum av ellipsoide ved integrasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En såkalt ellipse med sentrum i origo $O$ er gitt ved likningen

{(\frac{x}{a})}^{2} + {(\frac{y}{b})}^{2} = 1

Hvis vi dreier øvre halvdel av ellipsen $360 °$ om $x$ -aksen, får vi et omdreiningslegeme som vi kaller en ellipsoide.

Øvre halvdel av en ellipse i et koordinatsystem med skjæringspunkter i -a og a på x-aksen og høyde b på y-aksen

For hånd

Vis at likningen for ellipsen kan omformes til $y^{2} = b^{2} - \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$

For hånd

Bruk integrasjon for å vise at formelen for volumet av ellipsoiden er $\frac{4}{3} π a b^{2}$

Fasit

$y^{2} = b^{2} - \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$

$V = \frac{4}{3} π a b^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tar utgangspunkt i likningen for ellipsen

{(\frac{x}{a})}^{2} + {(\frac{y}{b})}^{2} = 1

som kan skrives

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Vi isolerer leddet med $y^{2}$ :

\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}

Vi ganger begge sider med $b^{2}$ :

y^{2} = b^{2} (1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}) = b^{2} - \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}

Dermed er likningen for ellipsen omformet til det ønskede uttrykket.

Når vi dreier den øvre halvdelen av ellipsen $360 °$ om $x$ -aksen, dannes en ellipsoide som strekker seg fra $x = - a$ til $x = a$ . Volumet av et omdreiningslegeme om $x$ -aksen er gitt ved

V = π \int_{- a}^{a} y^{2} d x

Vi setter inn uttrykket for $y^{2}$ fra a):

V = π \int_{- a}^{a} (b^{2} - \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}) d x

Vi finner et antiderivert uttrykk og beregner integralet:

V = π {[b^{2} x - \frac{b^{2} x^{3}}{3 a^{2}}]}_{- a}^{a}

Vi setter inn grensene:

V = π [(b^{2} a - \frac{b^{2} a^{3}}{3 a^{2}}) - (- b^{2} a + \frac{b^{2} a^{3}}{3 a^{2}})]

V = π [(a b^{2} - \frac{a b^{2}}{3}) - (- a b^{2} + \frac{a b^{2}}{3})] = π (\frac{2}{3} a b^{2} + \frac{2}{3} a b^{2}) = π \cdot \frac{4}{3} a b^{2}

Dette gir

V = \frac{4}{3} π a b^{2}

Vi kontrollerer integralet i GeoGebra CAS:

CAS-beregning av integralet for volumet av ellipsoiden

CAS-beregningen viser $\int_{- a}^{a} (b^{2} - \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}) d x = \frac{4}{3} a b^{2}$ , som bekrefter at $V = \frac{4}{3} π a b^{2}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Korrekt løsning ved bruk av CAS eller andre digitale verktøy, med tilfredsstillende presentasjon, gir full uttelling. Jf. vurderingsveiledningen 2012.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2012, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Omdreiningslegeme, Volum, Integrasjon, Bevis

Volum av ellipsoide ved integrasjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Volum av ellipsoide ved integrasjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Volum av ellipsoide ved integrasjon

Volum av ellipsoide ved integrasjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer