Vis integrasjonsformel og løs differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk en integrasjonsmetode til å vise at $\int x \cdot e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Løs differensiallikningen

y^{'} + 2 x y = 4 x, y (0) = 8

Fasit

Se utledning nedenfor.

$y = 2 + 6 e^{- x^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

\int x \cdot e^{x^{2}} d x

Vi bruker substitusjon. La $u = x^{2}$ , slik at $d u = 2 x d x$ , altså $x d x = \frac{1}{2} d u$ :

\int x \cdot e^{x^{2}} d x = \int e^{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \frac{1}{2} e^{u} + C

Vi setter tilbake $u = x^{2}$ :

\int x \cdot e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C

Dette er det vi skulle vise.

y^{'} + 2 x y = 4 x, y (0) = 8

Dette er en lineær førsteordens differensiallikning på formen $y^{'} + p (x) y = q (x)$ med $p (x) = 2 x$ . Vi finner integrerende faktor:

μ (x) = e^{\int 2 x d x} = e^{x^{2}}

Vi multipliserer likningen med $μ (x)$ :

e^{x^{2}} y^{'} + 2 x e^{x^{2}} y = 4 x e^{x^{2}}

Venstre side er den deriverte av produktet $y \cdot e^{x^{2}}$ :

{(y \cdot e^{x^{2}})}^{'} = 4 x e^{x^{2}}

Vi integrerer begge sider. Fra deloppgave a) vet vi at $\int 4 x e^{x^{2}} d x = 2 e^{x^{2}} + C$ :

y \cdot e^{x^{2}} = 2 e^{x^{2}} + C

Vi løser for $y$ :

y = 2 + C \cdot e^{- x^{2}}

Vi bruker initialbetingelsen $y (0) = 8$ :

8 = 2 + C \cdot e^{0} = 2 + C \Rightarrow C = 6

Dermed er

y = 2 + 6 e^{- x^{2}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som verifiserer integralet ved derivasjon kan få noe uttelling (0,5 poeng),

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2015, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Substitusjon, Differensiallikning, Bevis

Innstillinger