Vinkler og parallellogram med tre punkter i planet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (- 3, - 2)$ , $B (6, 3)$ og $C (2, 4)$

Kalkulator

Bestem $∠ B A C$ ved å bruke vektorregning.

For hånd

Bestem koordinatene til et punkt $D$ slik at $□ A B C D$ blir et parallellogram.

Fasit

$∠ B A C \approx 21,1 °$

$D (- 7, - 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har gitt punktene $A (- 3, - 2)$ , $B (6, 3)$ og $C (2, 4)$ .

Vi bruker vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ til å finne vinkelen $∠ B A C$ ved hjelp av formelen for prikkprodukt:

\cos v = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} |}

Vi finner først vektorene:

\vec{A B} = B - A = (6 - (- 3), 3 - (- 2)) = (9, 5)

\vec{A C} = C - A = (2 - (- 3), 4 - (- 2)) = (5, 6)

Deretter regner vi ut prikkproduktet og lengdene:

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9 \cdot 5 + 5 \cdot 6 = 45 + 30 = 75

| \vec{A B} | = \sqrt{9^{2} + 5^{2}} = \sqrt{106}

| \vec{A C} | = \sqrt{5^{2} + 6^{2}} = \sqrt{61}

Se utregningen i GeoGebra CAS (skalarprodukt, lengdeAB, lengdeAC og vinkel):

Løsning i GeoGebra CAS

Dette gir

\cos v = \frac{75}{\sqrt{106} \cdot \sqrt{61}} = \frac{75}{\sqrt{6466}}

v = \cos^{- 1} (\frac{75}{\sqrt{6466}}) \approx 21,1 °

$∠ B A C \approx 21,1 °$

For at $□ A B C D$ skal være et parallellogram, må siden $A B$ være parallell med og like lang som siden $D C$ , altså $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Det gir

B - A = C - D \Rightarrow D = A + C - B

Vi setter inn koordinatene:

D = (- 3, - 2) + (2, 4) - (6, 3) = (- 3 + 2 - 6, - 2 + 4 - 3) = (- 7, - 1)

Dette stemmer med resultatet D i GeoGebra-utklippet over.

Vi kan kontrollere svaret: $\vec{D C} = C - D = (2 - (- 7), 4 - (- 1)) = (9, 5) = \vec{A B}$ , som bekrefter at $A B C D$ er et parallellogram.

$D (- 7, - 1)$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Løsninger som ikke tar hensyn til bokstavrekkefølgen gir ikke full uttelling. Oppgaven kan løses både digitalt og ved regning.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2012, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt, Geometri

Innstillinger