Vinkel og likebeint trekant med vektorer R1 V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A(1, -3)$ , $B(4, 1)$ og $C(-2, a)$ , der $a \in \mathbb{R}$ .

Bestem $a$ slik at vinkel $BAC$ blir $90\degree$ .

Bestem $a$ slik at $|\vec{AB}| = |\vec{AC}|$ .

Fasit

$\underline{\underline{a = -\dfrac{3}{4}}}$

$\underline{\underline{a = 1}}$ eller $\underline{\underline{a = -7}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$ :

\vec{AB} = B - A = (4-1,\; 1-(-3)) = (3, 4)

\vec{AC} = C - A = (-2-1,\; a-(-3)) = (-3, a+3)

Vinkel $BAC = 90\degree$ når $\vec{AB}$ og $\vec{AC}$ er ortogonale, det vil si når skalarproduktet er null.

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot (-3) + 4 \cdot (a+3) = 0

-9 + 4a + 12 = 0

4a + 3 = 0

a = -\frac{3}{4}

$\underline{\underline{a = -\dfrac{3}{4}}}$

Trekanten er likebeint med $|\vec{AB}| = |\vec{AC}|$ når de to sidene fra $A$ er like lange. Vi setter opp:

|\vec{AB}|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

|\vec{AC}|^2 = (-3)^2 + (a+3)^2 = 9 + (a+3)^2

Vi setter $|\vec{AB}|^2 = |\vec{AC}|^2$ :

25 = 9 + (a+3)^2

(a+3)^2 = 16

a + 3 = \pm 4

a = 1 \qquad \text{eller} \qquad a = -7

$\underline{\underline{a = 1}}$ eller $\underline{\underline{a = -7}}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å finne vektorene og 1 poeng for å finne $a$ .

Kandidaten må finne begge verdiene for $a$ for å få full uttelling. En god strategi som ikke fører helt frem kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Sync på tvers av enheter