Vinkel mellom vektorer og likning for plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vektorene $\vec{u} = [1, 2, - 1]$ og $\vec{v} = [- 1, 1, - 2]$ er gitt.

Et plan $β$ går gjennom punktet $P (2, 0, 1)$ . Videre er $β ∥ \vec{u}$ og $β ∥ \vec{v}$ .

Bestem $∠ (\vec{u}, \vec{v})$ .

Vis at $\vec{n} = [- 1, 1, 1]$ er en normalvektor til planet $β$ .

Bestem likningen til planet $β$ .

Fasit

$∠ (\vec{u}, \vec{v}) = 60 °$

$\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ og $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ , altså er $\vec{n} normalvektor til β$

$- x + y + z + 1 = 0$

LøsningsforslagKI-generert

Vinkelen mellom to vektorer finner vi ved formelen

\cos v = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |}

Vi regner ut skalarproduktet og lengdene:

\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot (- 1) + 2 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 2) = - 1 + 2 + 2 = 3

| \vec{u} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{6}, | \vec{v} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{6}

\cos v = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

v = \arccos (\frac{1}{2}) = 60 °

∠ (\vec{u}, \vec{v}) = 60 °

For at $\vec{n}$ skal være en normalvektor til planet $β$ , som er parallelt med både $\vec{u}$ og $\vec{v}$ , må $\vec{n}$ stå normalt på begge vektorene. Vi sjekker at skalarproduktene er null:

\vec{n} \cdot \vec{u} = (- 1) \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (- 1) = - 1 + 2 - 1 = 0

\vec{n} \cdot \vec{v} = (- 1) \cdot (- 1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) = 1 + 1 - 2 = 0

Siden $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ og $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ , står $\vec{n}$ normalt på både $\vec{u}$ og $\vec{v}$ , og dermed er

\vec{n} = [- 1, 1, 1] en normalvektor til planet β

Et plan med normalvektor $\vec{n} = [- 1, 1, 1]$ gjennom punktet $P (2, 0, 1)$ har likning

- 1 (x - 2) + 1 (y - 0) + 1 (z - 1) = 0

- x + 2 + y + z - 1 = 0

- x + y + z + 1 = 0

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 1, oppgave 12
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Vektorer, Plan, Romgeometri

Vinkel mellom vektorer og likning for plan

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vinkel mellom vektorer og likning for plan

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vinkel mellom vektorer og likning for plan

Vinkel mellom vektorer og likning for plan

Lov på eksamen

Temaer