Verifiser dobbeltvinkelformel med 30-60-90-trekant

Snorre har funnet formelen nedenfor i en matematikkbok

2 \cdot \sin(u) \cdot \cos(u) = \sin(2 \cdot u)

$30-60-90-trekant med hypotenus 2, kateter 1 og \sqrt{3}$

Bruk trekanten til høyre og vis at formelen gjelder når $u = 30\degree$ .

Fasit

Begge sider er lik $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , så formelen gjelder for $u = 30\degree$ .

LøsningsforslagKI-generert

Fra 30-60-90-trekanten leser vi av sidene: hypotenus $= 2$ , kateten motstående $30\degree$ er $1$ , og kateten motstående $60\degree$ er $\sqrt{3}$ .

Dette gir oss de trigonometriske verdiene vi trenger:

\sin(30\degree) = \frac{1}{2}, \qquad \cos(30\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin(60\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Vi beregner venstre side av formelen med $u = 30\degree$ :

2 \cdot \sin(30\degree) \cdot \cos(30\degree) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Vi beregner høyre side av formelen med $u = 30\degree$ :

\sin(2 \cdot 30\degree) = \sin(60\degree) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Siden venstre side $=$ høyre side $= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , er formelen $2\sin(u)\cos(u) = \sin(2u)$ verifisert for $u = 30\degree$ .

Sensorveiledning

En kandidat som setter opp to riktige forhold, men ikke viser sammenhengen, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: trigonometri, identiteter, argumentasjon
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne