Vi taster inn funksjonen $f(x)=x^3-4x$ i et graftegningsverktøy. Vendepunktet til $f$ finner vi ved å løse $f^{\prime \prime }(x)=6x=0$, som gir $x=0$. Siden $f(0)=0$ er vendepunktet $B(0,0)$, som stemmer med oppgaveteksten.

Stigningstallet til vendetangenten $t$ er $f^{\prime }(0)$, der $f^{\prime }(x)=3x^2-4$. Det gir $f^{\prime }(0)=-4$, så vendetangenten er

Punktet $C$ er skjæringen mellom $t$ og linjen $x=-2$: $t(-2)=-4\cdot (-2)=8$, altså $C(-2,8)$.

Punktet $D$ er toppunktet til $f$. Vi løser $f^{\prime }(x)=3x^2-4=0$, som gir $x=\pm {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$. Siden $f$ vokser for $x<-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$ og avtar for $-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}<x<{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$, er toppunktet ved $x=-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$, med $f(-{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}})={\displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{9}}$. Altså $D(-{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{9}})\approx (-\mathrm{1,15},\mathrm{3,08})$.

Grafen med vendetangenten og punktene $A$, $B$, $C$ og $D$ er tegnet under.

Trekant $ABC$ har hjørner $A(-\mathrm{2,0})$, $B(\mathrm{0,0})$ og $C(-\mathrm{2,8})$. Siden $AB$ ligger på $x$-aksen og $AC$ er loddrett ($x=-2$), står de vinkelrett på hverandre, med $\left|AB\right|=2$ og $\left|AC\right|=8$. Da er

Trekant $ABD$ har samme grunnlinje $AB$ (på $x$-aksen, lengde $2$). Høyden er den loddrette avstanden fra $D$ til $x$-aksen, altså $y$-koordinaten til $D$, som er ${\displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{9}}$. Da er

Forholdet mellom arealene blir

Dette er bekreftet med CAS under.

Vi setter opp de samme punktene for det generelle uttrykket $g(x)=x(x^2-r^2)=x^3-r^{2}x$, $r>0$.

Vendepunktet er origo $F(\mathrm{0,0})$ (siden $g^{\prime \prime }(x)=6x=0$ gir $x=0$), og vendetangenten har stigningstall $g^{\prime }(0)=-r^2$, altså $t_g(x)=-r^{2}x$.

$E$, venstre nullpunkt, er $E(-r,0)$. Da blir $G=(-r,t_g(-r))=(-r,r^3)$.

Toppunktet $H$ finner vi ved $g^{\prime }(x)=3x^2-r^2=0$, som gir $x=-{\displaystyle \frac{r}{\sqrt{3}}}$ (toppunktet, av samme grunn som i a)), med $g(-{\displaystyle \frac{r}{\sqrt{3}}})={\displaystyle \frac{2r^3\sqrt{3}}{9}}$.

Med samme resonnement som i b) (rett vinkel i $E$, felles grunnlinje $EF$ av lengde $r$) blir

CAS forenkler forholdet til

Se utregningen under — $r^4$ forkortes bort, så forholdet er det samme ${\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ som i b), uavhengig av $r$. Dette viser at forholdet mellom arealene av trekantene $EFG$ og $EFH$ er uavhengig av $r$.