Vektorprodukt og plan gjennom tre punkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (1, 2, - 2)$ , $B (2, - 3, 4)$ og $C (- 2, 3, 1)$ er gitt.

Bestem ved regning vektorproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C}$ .

Forklar at $C$ ikke ligger på linjen gjennom $A$ og $B$ .

Bestem en likning for planet $α$ gjennom $A$ , $B$ og $C$ .

Avgjør om punktet $D (2, 2, 3)$ ligger i $α$ .

Fasit

$\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 21, - 21, - 14)$

Vektorproduktet er forskjellig fra nullvektoren, så $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er ikke parallelle.

$3 x + 3 y + 2 z - 5 = 0$

$D$ ligger $ikke$ i $α$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ .

\vec{A B} = B - A = (2 - 1, - 3 - 2, 4 - (- 2)) = (1, - 5, 6)

\vec{A C} = C - A = (- 2 - 1, 3 - 2, 1 - (- 2)) = (- 3, 1, 3)

Vektorproduktet er

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & - 5 & 6 \\ - 3 & 1 & 3 \end{matrix} |

= ((- 5) \cdot 3 - 6 \cdot 1) \vec{i} - (1 \cdot 3 - 6 \cdot (- 3)) \vec{j} + (1 \cdot 1 - (- 5) \cdot (- 3)) \vec{k}

\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 21, - 21, - 14)

Dersom $C$ hadde ligget på linjen gjennom $A$ og $B$ , ville $\vec{A C}$ vært parallell med $\vec{A B}$ , og da måtte $\vec{A B} \times \vec{A C} = \vec{0}$ .

Fra a) er $\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 21, - 21, - 14) \neq \vec{0}$ . Dermed er $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ ikke parallelle, og $C$ ligger $ikke$ på linjen gjennom $A$ og $B$ .

Vektorproduktet $\vec{A B} \times \vec{A C} = (- 21, - 21, - 14)$ står normalt på planet $α$ . Vi kan forkorte med $- 7$ og bruke normalvektoren $\vec{n} = (3, 3, 2)$ .

Likningen for planet blir da $3 (x - x_{0}) + 3 (y - y_{0}) + 2 (z - z_{0}) = 0$ , der vi setter inn punktet $A (1,2, - 2)$ :

3 (x - 1) + 3 (y - 2) + 2 (z - (- 2)) = 0

3 x - 3 + 3 y - 6 + 2 z + 4 = 0

3 x + 3 y + 2 z - 5 = 0

Vi setter koordinatene til $D (2,2,3)$ inn i planlikningen fra c).

3 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 - 5 = 6 + 6 + 6 - 5 = 13 \neq 0

Siden venstre side ikke blir null, ligger $D$ $ikke$ i planet $α$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2015, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan

Vektorprodukt og plan gjennom tre punkter

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorprodukt og plan gjennom tre punkter

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorprodukt og plan gjennom tre punkter

Vektorprodukt og plan gjennom tre punkter

Lov på eksamen

Temaer