Vektorfunksjoner og smygplan

En kurve $C$ er grafen til vektorfunksjonen $\vec{r}_1$ gitt ved

\vec{r}_1(t) = [\sin t,\ t,\ \cos t], \quad 0 < t < 2\pi

Bestem koordinatene til eventuelle punkter på $C$ der tangenten er parallell med $xy$ -planet.

Vis at $\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t)$ for alle $t$ .

Vis at vinkelen mellom smygplanet og $y$ -aksen alltid er den samme for kurven $C$ . Bestem denne vinkelen.

En annen kurve er grafen til vektorfunksjonen $\vec{r}_2$ gitt ved

\vec{r}_2(t) = [\sin t,\ t,\ 2\sin t + 1]

Undersøk smygplanet til denne kurven for ulike verdier av $t$ . Gi en tolkning av det du har funnet i undersøkelsene dine.

Fasit

Punkt $(0, \pi, -1)$

Se løsningsforslag — prikkproduktet er identisk lik 0.

Vinkelen er alltid $45°$ .

Normalretningen er alltid $(-2, 0, 1)$ — smygplanet har konstant orientering. Kurven ligger i planet $z = 2x + 1$ .

LøsningsforslagKI-generert

Tangenten til kurven $C$ er gitt ved $\vec{r}_1'(t)$ . Vi deriverer:

\vec{r}_1'(t) = [\cos t,\ 1,\ -\sin t]

Tangenten er parallell med $xy$ -planet når $z$ -komponenten er null:

-\sin t = 0 \implies t = \pi \quad (t \in \langle 0, 2\pi \rangle)

Punktet på kurven ved $t = \pi$ :

\vec{r}_1(\pi) = [\sin \pi,\ \pi,\ \cos \pi] = [0,\ \pi,\ -1]

Punktet $(0,\ \pi,\ -1)$ er det eneste punktet der tangenten er parallell med $xy$ -planet.

Vi deriverer $\vec{r}_1'(t)$ én gang til:

\vec{r}_1''(t) = [-\sin t,\ 0,\ -\cos t]

Prikkproduktet er:

\vec{r}_1'(t) \cdot \vec{r}_1''(t) = \cos t \cdot (-\sin t) + 1 \cdot 0 + (-\sin t) \cdot (-\cos t)

= -\sin t \cos t + 0 + \sin t \cos t = \mathbf{0}

GeoGebra CAS bekrefter:

Siden prikkproduktet er null for alle $t$ , er $\vec{r}_1'(t) \perp \vec{r}_1''(t)$ for alle $t$ . $\square$

Smygplanet i et punkt inneholder $\vec{r}_1'(t)$ og $\vec{r}_1''(t)$ . Normalvektoren til smygplanet er:

\vec{n} = \vec{r}_1'(t) \times \vec{r}_1''(t)

Vi regner ut kryssprodukt komponent for komponent:

\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \cos t & 1 & -\sin t \\ -\sin t & 0 & -\cos t \end{vmatrix}

= \left(1 \cdot (-\cos t) - (-\sin t) \cdot 0,\ (-\sin t)(-\sin t) - \cos t \cdot (-\cos t),\ \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t)\right)

= \left(-\cos t,\ \sin^2 t + \cos^2 t,\ \sin t\right) = (-\cos t,\ 1,\ \sin t)

Lengden av $\vec{n}$ :

|\vec{n}|^2 = \cos^2 t + 1 + \sin^2 t = 2 \implies |\vec{n}| = \sqrt{2}

Vinkelen $\theta$ mellom normalvektoren $\vec{n}$ og $y$ -aksen $\hat{j} = (0, 1, 0)$ :

\cos \theta = \frac{\vec{n} \cdot \hat{j}}{|\vec{n}| \cdot |\hat{j}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = \frac{\pi}{4} = 45°

GeoGebra CAS bekrefter $|\vec{n}|^2 = 2$ og $\theta = \frac{\pi}{4}$ :

Vinkelen mellom smygplanet og $y$ -aksen er $90° - \theta = 90° - 45° = 45°$ .

Siden $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ er uavhengig av $t$ , er vinkelen mellom smygplanet og $y$ -aksen alltid $\underline{\underline{45°}}$ , uavhengig av hvilket punkt på kurven vi ser på. $\square$

Vi finner $\vec{r}_2'(t)$ og $\vec{r}_2''(t)$ :

\vec{r}_2(t) = [\sin t,\ t,\ 2\sin t + 1]

\vec{r}_2'(t) = [\cos t,\ 1,\ 2\cos t]

\vec{r}_2''(t) = [-\sin t,\ 0,\ -2\sin t]

Normalvektoren til smygplanet:

\vec{n}_2 = \vec{r}_2'(t) \times \vec{r}_2''(t)

= \left(1 \cdot (-2\sin t) - 2\cos t \cdot 0,\ 2\cos t \cdot (-\sin t) - \cos t \cdot (-2\sin t),\ \cos t \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin t)\right)

= \left(-2\sin t,\ -2\sin t \cos t + 2\sin t \cos t,\ \sin t\right) = (-2\sin t,\ 0,\ \sin t)

= \sin t \cdot (-2,\ 0,\ 1)

Tolkning: Normalvektoren $\vec{n}_2 = \sin t \cdot (-2, 0, 1)$ peker alltid i retningen $(-2, 0, 1)$ (eller motsatt retning) uavhengig av $t$ (der $\sin t \neq 0$ ). Det betyr at smygplanet har den samme orienteringen for alle $t$ — det er alltid parallelt med planet med normal $(-2, 0, 1)$ .

En naturlig forklaring er at kurven faktisk ligger i et fast plan: $z$ -komponenten er $2\sin t + 1 = 2x + 1$ , altså $z = 2x + 1$ . Kurven $C_2$ ligger i sin helhet i planet $z = 2x + 1$ , og smygplanet er det samme for alle punkter.

Merk at der $\sin t = 0$ (dvs. $t = 0, \pi, 2\pi, \ldots$ ) er $\vec{r}_2'$ og $\vec{r}_2''$ parallelle, og smygplanet er ikke definert i disse punktene.

Sensorveiledning

2 poeng

Det gis 1 poeng for rett strategi og i tillegg 1 poeng for å gjennomføre strategien og få rett svar.

2 poeng

Det gis full uttelling dersom kandidaten løser oppgaven rett og at løsningen blir kommunisert på en tilstrekkelig måte.

2 poeng

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten finner $\vec{n} = \vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)$ og en retningsvektor for $y$ -aksen, men ikke klarer å vise at cosinus til vinkelen er konstant (ved å bruke at $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ ).

2 poeng

For å få full uttelling må kandidaten vise at smygplanet har samme retning for alle verdier av $t$ . En fremragende løsning kommenterer at hele kurven ligger i ett plan.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: vektorer, funksjoner, bevis
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet