Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (2, - 1)$ og $B (5, 3)$ er gitt.

Kalkulator

Finn $\vec{A B}$ og regn ut $| \vec{A B} |$ .

Vektoren $\vec{A C} = [- 1, 2]$ er gitt.

Kalkulator

Bestem koordinatene til punktet $C$ .

Kalkulator

Regn ut $\vec{A C} \cdot \vec{B C}$ og kommenter svaret.

En rett linje $l$ går gjennom punktet $P (3, - 4)$ og er parallell med $\vec{A C}$ .

Kalkulator

Finn en parameterframstilling for linjen $l$ .

Kalkulator

Finn koordinatene til punktet der $l$ skjærer $y$ -aksen.

Punktet $Q (8, 6)$ er gitt. En vektor $\vec{Q R}$ har lengden 10, og $R$ er et punkt på linjen $l$ .

Kalkulator

Bestem koordinatene til $R$ .

Fasit

$\vec{A B} = [3, 4], | \vec{A B} | = 5$

$C (1, 1)$

$\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 0$ , altså er $\vec{A C} ⟂ \vec{B C}$

$l : [x, y] = [3, - 4] + t \cdot [- 1, 2]$

$(0, 2)$

$R (2, - 2) eller R (- 2, 6)$

LøsningsforslagKI-generert

Alle utregninger er kontrollert i GeoGebra CAS.

Løsning i GeoGebra CAS

Vektoren $\vec{A B}$ finner vi ved å trekke koordinatene til $A$ fra koordinatene til $B$ :

\vec{A B} = B - A = [5 - 2, 3 - (- 1)] = [3, 4]

Lengden av vektoren regner vi ut med Pytagoras’ setning:

| \vec{A B} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Siden $\vec{A C} = C - A$ , finner vi $C$ ved å legge vektoren til punktet $A$ :

C = A + \vec{A C} = (2, - 1) + [- 1, 2] = (1, 1)

Vi finner først $\vec{B C}$ :

\vec{B C} = C - B = (1 - 5, 1 - 3) = [- 4, - 2]

Deretter regner vi ut prikkproduktet:

\vec{A C} \cdot \vec{B C} = (- 1) \cdot (- 4) + 2 \cdot (- 2) = 4 - 4 = 0

Siden prikkproduktet er $0$ , er vektorene $\vec{A C}$ og $\vec{B C}$ vinkelrette på hverandre. Det betyr at trekanten $A B C$ har en rett vinkel i $C$ .

Linjen $l$ går gjennom $P (3, - 4)$ og er parallell med $\vec{A C} = [- 1, 2]$ , som da er en retningsvektor for linjen. En parameterframstilling blir

l : [x, y] = [3, - 4] + t \cdot [- 1, 2], t \in ℝ

Linjen skjærer $y$ -aksen der $x = 0$ :

3 - t = 0 \Rightarrow t = 3

Setter vi $t = 3$ inn i uttrykket for $y$ :

y = - 4 + 2 \cdot 3 = 2

Linjen $l$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 2)$ .

Et punkt $R$ på linjen $l$ kan skrives på formen $R (t) = (3 - t, - 4 + 2 t)$ . Vektoren $\vec{Q R}$ blir da

\vec{Q R} = R (t) - Q = (3 - t - 8, - 4 + 2 t - 6) = [- 5 - t, 2 t - 10]

Kravet $| \vec{Q R} | = 10$ gir likningen

\sqrt{{(- 5 - t)}^{2} + {(2 t - 10)}^{2}} = 10

Kvadrerer vi begge sider og forenkler, får vi (se likning i utklippet)

5 t^{2} - 30 t + 125 = 100 \Rightarrow t^{2} - 6 t + 5 = 0

Dette gir $t = 1$ eller $t = 5$ (se løsning i utklippet). Setter vi de to verdiene inn i $R (t)$ :

t = 1 : R = (3 - 1, - 4 + 2) = (2, - 2)

t = 5 : R = (3 - 5, - 4 + 10) = (- 2, 6)

Det finnes altså to punkter som oppfyller kravet: $R (2, - 2)$ eller $R (- 2, 6)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 9 poeng

En fullgod løsning må ha med begge mulighetene for punktet $R$ . Grafisk løsning gir også full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2011, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Skalarprodukt, Lengde av vektor

Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer