Utledning av Herons formel med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Herons formel

Arealet $F$ til en trekant med sidelengder $a$ , $b$ og $c$ er

F = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}, der s = \frac{a + b + c}{2} .

Trekant med sidene a, b og c

Kalkulator

Bruk formelen til å bestemme arealet til en trekant med sidelengder 5, 7 og 8.

Vi vil nå utlede Herons formel.

La $A B C$ være en trekant der $A B = c$ , $B C = a$ og $A C = b$ . Normalen fra $C$ ned på linjen $ℓ$ gjennom punktene $A$ og $B$ skjærer $ℓ$ i $D$ . Vi setter $h = C D$ , $q = A D$ og $p = D B$ .

Trekant ABC med høyden h = CD, der D deler AB i q og p

Ved å bruke at $q = c - p$ får vi at

q^{2} = c^{2} - 2 c p + p^{2} .

For hånd

Bruk formelen over til å vise at $b^{2}$ kan skrives som $b^{2} = h^{2} + c^{2} - 2 c p + p^{2}$ .

For hånd

Bruk blant annet resultatet fra oppgave b) til å vise at

p = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c}

Oppsett for hånd

Bruk CAS til å vise at

\frac{1}{4} c^{2} (a^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c})}^{2}) = s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)

Forklar hvorfor dette beviser Herons formel.

Fasit

$F = 10 \sqrt{3} \approx 17,3$

$b^{2} = h^{2} + c^{2} - 2 c p + p^{2}$

$p = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c}$

Identiteten stemmer – se CAS-utregning og forklaring under.

LøsningsforslagKI-generert

Med $a = 5$ , $b = 7$ og $c = 8$ (eller en hvilken som helst rekkefølge på sidene) blir

s = \frac{5 + 7 + 8}{2} = 10.

Herons formel gir da

F = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3} \approx 17,3.

$F = 10 \sqrt{3} \approx 17,3$

Trekant $A D C$ er rettvinklet i $D$ , siden $C D ⟂ ℓ$ . Katetene er $h = C D$ og $q = A D$ , og hypotenusen er $b = A C$ . Pytagoras’ setning gir

b^{2} = h^{2} + q^{2} .

Vi setter inn uttrykket $q^{2} = c^{2} - 2 c p + p^{2}$ som er gitt over:

b^{2} = h^{2} + c^{2} - 2 c p + p^{2}

Trekant $D B C$ er rettvinklet i $D$ , med katetene $h$ og $p$ og hypotenusen $a = B C$ . Pytagoras’ setning gir

a^{2} = h^{2} + p^{2} \Rightarrow h^{2} = a^{2} - p^{2} .

Vi setter dette inn i resultatet fra oppgave b):

\begin{matrix} b^{2} & = (a^{2} - p^{2}) + c^{2} - 2 c p + p^{2} \\ b^{2} & = a^{2} + c^{2} - 2 c p \end{matrix}

Løser vi denne likningen med hensyn på $p$ :

\begin{matrix} b^{2} & = a^{2} + c^{2} - 2 c p \\ 2 c p & = a^{2} + c^{2} - b^{2} \\ p & = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c} \end{matrix}

p = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c}

Arealet av trekant $A B C$ kan skrives $F = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$ , siden $c = A B$ er grunnlinjen og $h$ er høyden ned på den. Da er

F^{2} = {(\frac{1}{2} c h)}^{2} = \frac{1}{4} c^{2} h^{2} = \frac{1}{4} c^{2} (a^{2} - p^{2}) = \frac{1}{4} c^{2} (a^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c})}^{2}),

der vi har brukt $h^{2} = a^{2} - p^{2}$ fra oppgave c) og uttrykket for $p$ .

Vi bruker CAS til å definere $p (a, b, c)$ og $s (a, b, c)$ , og lar VenstreSide være uttrykket over og HøyreSide være $s (s - a) (s - b) (s - c)$ :

CAS-utregning som viser at differansen mellom venstre og høyre side er 0

CAS forenkler differansen VenstreSide - HøyreSide til $0$ , altså er

\frac{1}{4} c^{2} (a^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 c})}^{2}) = s (s - a) (s - b) (s - c) .

Siden venstre side nettopp er $F^{2}$ , har vi vist at

F^{2} = s (s - a) (s - b) (s - c),

og ved å ta kvadratrota på begge sider (arealet er positivt) får vi Herons formel:

F = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} .

Utledningen bygger på at $D$ ligger mellom $A$ og $B$ slik at $q = c - p$ (altså en spissvinklet trekant), men både formelen for $p$ og selve Herons formel gjelder for alle trekanter – i en stumpvinklet trekant vil $D$ ligge utenfor $A B$ , og fortegnet på $p$ tar hånd om det i utregningen.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2021, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Bevis, Pytagoras, CAS

Utledning av Herons formel med CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Utledning av Herons formel med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Utledning av Herons formel med CAS

Utledning av Herons formel med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer