Rekka

er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1=\cos x$ og kvotient $k=2\sin x$ (hvert nytt ledd er forrige multiplisert med $2\sin x$).

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k|<1$:

I intervallet $[-2\pi ,2\pi ]$ har $\sin x=\pm \frac{1}{2}$ løsningene $x=\pm \frac{\pi }{6},\pm \frac{5\pi }{6},\pm \frac{7\pi }{6},\pm \frac{11\pi }{6}$ (i tillegg til at $\sin (\pm 2\pi )=0$, som ligger innenfor grensa). Ulikheten $|\sin x|<\frac{1}{2}$ er oppfylt mellom disse verdiene, slik at konvergensområdet blir

Endepunktene $x=-2\pi$ og $x=2\pi$ er med fordi $\sin (\pm 2\pi )=0$, som oppfyller $|\sin x|<\frac{1}{2}$.

For en konvergent uendelig geometrisk rekke er summen $S={\displaystyle \frac{a_1}{1-k}}$. Med CAS (kommando Forenkle(cos(x)/(1-2*sin(x)))) bekreftes at uttrykket ikke lar seg forenkle videre, så

Vi skal finne for hvilke verdier av $b$ likningen $S(x)=b$ har løsning i $[-\pi ,\pi ]$. Fra a) konvergerer rekka i $[-\pi ,\pi ]$ på delintervallene

I randpunktet $x=-\frac{\pi }{6}$ (like utenfor konvergensområdet) er

Ved å studere $S(x)$ på hvert delintervall (for eksempel med graftegning i GeoGebra) ser vi:

• På $⟨-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}⟩$ er $S(x)\to \frac{\sqrt{3}}{4}$ når $x\to -{\frac{\pi }{6}}^{+}$, og $S(x)\to +\infty$ når $x\to {\frac{\pi }{6}}^{-}$ (nevneren $1-2\sin x\to 0^{+}$). Her tar $S$ alle verdier i $⟨\frac{\sqrt{3}}{4},+\infty ⟩$.
• På $[-\pi ,-\frac{5\pi }{6}⟩$ går $S$ fra $S(-\pi )=-1$ og nærmer seg $-\frac{\sqrt{3}}{4}$ (ved symmetri med tilsvarende grenseverdi), altså verdier i $[-1,-\frac{\sqrt{3}}{4}⟩$.
• På $⟨\frac{5\pi }{6},\pi ]$ går $S$ fra $-\infty$ (nevneren $\to 0^{-}$) opp til $S(\pi )=-1$, altså verdier i $⟨-\infty ,-1]$.

Til sammen dekker verdimengden til $S$ på konvergensområdet i $[-\pi ,\pi ]$ intervallene

Likningen $S(x)=b$ har dermed en eller flere løsninger i $[-\pi ,\pi ]$ nøyaktig når

Grafisk vises dette tydelig. I figuren under er $S(x)$ tegnet bare på de tre intervallene i $[-\pi ,\pi ]$ der rekka konvergerer, sammen med de vannrette linjene $y=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}$ (røde):

Kurven kommer aldri innenfor det vannrette båndet $-\frac{\sqrt{3}}{4}<y<\frac{\sqrt{3}}{4}$. Legg merke til at grenene starter nøyaktig på de røde linjene i randpunktene $x=\pm \frac{\pi }{6}$ og $x=\pm \frac{5\pi }{6}$ — men disse randpunktene hører ikke med til konvergensområdet, så verdiene $\pm \frac{\sqrt{3}}{4}$ nås aldri.