Trigonometriske likninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

$2 \sin (2 x) = 1$ , der $x \in [0, π]$

$2 \cos^{2} x - \cos x = 1$ , der $x \in [0, 4 π]$

Fasit

$x = \frac{π}{12} eller x = \frac{5 π}{12}$

$x = 0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, 2 π, \frac{8 π}{3}, \frac{10 π}{3}, 4 π$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser $2 \sin (2 x) = 1$ , altså $\sin (2 x) = \frac{1}{2}$ .

Siden $x \in [0, π]$ , er $2 x \in [0, 2 π]$ . I dette intervallet er $\sin θ = \frac{1}{2}$ for

θ = \frac{π}{6} eller θ = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

Med $θ = 2 x$ får vi

2 x = \frac{π}{6} \Rightarrow x = \frac{π}{12}

2 x = \frac{5 π}{6} \Rightarrow x = \frac{5 π}{12}

Begge løsningene ligger i $[0, π]$ , så $x = \frac{π}{12} eller x = \frac{5 π}{12}$ .

Vi løser $2 \cos^{2} x - \cos x = 1$ , som vi skriver om til

2 \cos^{2} x - \cos x - 1 = 0

Vi setter $u = \cos x$ :

2 u^{2} - u - 1 = 0

Faktorisering gir $(2 u + 1) (u - 1) = 0$ , altså

u = - \frac{1}{2} eller u = 1

Tilfelle $\cos x = 1$ : I intervallet $[0, 4 π]$ er dette oppfylt for

x = 0, 2 π, 4 π

Tilfelle $\cos x = - \frac{1}{2}$ : I ett omløp $[0, 2 π]$ er dette oppfylt for

x = \frac{2 π}{3} eller x = \frac{4 π}{3}

Siden intervallet strekker seg over to omløp, legger vi til $2 π$ til hver løsning for å finne løsningene i det neste omløpet:

x = \frac{2 π}{3} + 2 π = \frac{8 π}{3} og x = \frac{4 π}{3} + 2 π = \frac{10 π}{3}

Samlet får vi løsningene

x = 0, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, 2 π, \frac{8 π}{3}, \frac{10 π}{3}, 4 π

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2019, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Likninger

Innstillinger