Trigonometriske likninger R2 H17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs de trigonometriske likningene

2 \sin (2 x) - 1 = 0, x \in [0, 2 π]

2 \cos^{2} x + 3 \cos x - 2 = 0, x \in [0, 2 π]

Fasit

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}$

$x = \frac{π}{3} eller x = \frac{5 π}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

2 \sin (2 x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin (2 x) = \frac{1}{2}

Siden $x \in [0, 2 π]$ er $2 x \in [0, 4 π]$ . Løsningene til $\sin (2 x) = \frac{1}{2}$ er

2 x = \frac{π}{6} + 2 π n eller 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 π n

For $n = 0$ og $n = 1$ innenfor $[0, 4 π]$ får vi

2 x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{13 π}{6}, \frac{17 π}{6}

Deler på $2$ :

x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}

Vi setter $t = \cos x$ og får andregradslikningen

2 t^{2} + 3 t - 2 = 0

t = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{- 3 \pm 5}{4}

Dette gir $t = \frac{1}{2}$ eller $t = - 2$ .

Siden $\cos x \in [- 1, 1]$ , er $t = - 2$ ikke mulig. Vi løser derfor $\cos x = \frac{1}{2}$ for $x \in [0, 2 π]$ :

x = \frac{π}{3} eller x = \frac{5 π}{3}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2017, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Likninger

Innstillinger