Siden $x\in [0,2\pi ]$, er $2x\in [0,4\pi ]$. Vi løser $\cos (2x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ved å bruke at $\cos v={\displaystyle \frac{1}{2}}$ gir $v=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\pi n$.

Innenfor $[0,4\pi ]$ gir dette $2x={\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{7\pi }{3}}$ (fra første ligning) og $2x={\displaystyle \frac{5\pi }{3}},{\displaystyle \frac{11\pi }{3}}$ (fra andre ligning, siden $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+2\pi ={\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$).

Deler vi på $2$, får vi

Vi skriver venstresiden på hjelpevinkelform $R\sin (x-\phi )$. Med $R=\sqrt{{(\sqrt{3})}^2+{(-1)}^2}=\sqrt{4}=2$ og $\phi ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ (siden $\cos \phi ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ og $\sin \phi ={\displaystyle \frac{1}{2}}$), får vi

Likningen blir dermed

Siden $\sin v={\displaystyle \frac{1}{2}}$ gir $v={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\pi n$ eller $v={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2\pi n$, får vi

Innenfor $[0,2\pi ]$ gir dette