Trigonometrisk likning med cos og sin

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

\cos^{2} x - 3 \sin^{2} x = - 2, x \in [0, 2 π ⟩

Fasit

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ for å skrive hele likningen med bare $\sin x$ :

\cos^{2} x - 3 \sin^{2} x = - 2

(1 - \sin^{2} x) - 3 \sin^{2} x = - 2

1 - 4 \sin^{2} x = - 2

- 4 \sin^{2} x = - 3

\sin^{2} x = \frac{3}{4}

Vi tar kvadratrota på begge sider:

\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

Tilfelle 1: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Dette gir $x = \frac{π}{3}$ og $x = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ i intervallet $[0,2 π ⟩$ .

Tilfelle 2: $\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Dette gir $x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3}$ og $x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}$ i intervallet $[0,2 π ⟩$ .

Løsningene til likningen er dermed

x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2023, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Trigonometri, Likninger

Innstillinger