Trigonometrisk likning eksakte løsninger cos og sin

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem alle eksakte løsninger til likningen

\cos^{2} x - 3 \sin^{2} x = - 2, x \in [0, 2 π ⟩

Fasit

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker identiteten $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ for å skrive likningen med bare $\sin x$ :

\cos^{2} x - 3 \sin^{2} x = - 2

(1 - \sin^{2} x) - 3 \sin^{2} x = - 2

1 - 4 \sin^{2} x = - 2

- 4 \sin^{2} x = - 3

\sin^{2} x = \frac{3}{4}

\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

Når $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

Dette gir løsningene i første og andre kvadrant:

x = \frac{π}{3} eller x = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

Når $\sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ :

Dette gir løsningene i tredje og fjerde kvadrant:

x = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3} eller x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3}

Alle fire løsningene ligger i $[0, 2 π ⟩$ , så

x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 1, oppgave 13
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Likninger, Eksakte verdier

Innstillinger