Vi setter $f(x)=0$ og bruker $\sin (2x)=2\sin x\cos x$:

Dette gir to muligheter.

Første faktor: $\cos x=0$, som gir

Andre faktor: $\cos x+\sin x=0\Rightarrow \tan x=-1$, som gir $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi$. I $⟨-\pi ,\pi ⟩$ gir dette

Nullpunktene til $f$ er $\underline{\underline{x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},-{\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}}}$.

Vi bruker dobbeltvinkelformelen $\cos (2x)=2{\cos }^{2}x-1$, som gir $2{\cos }^{2}x=1+\cos (2x)$. Da blir

Vi skriver $\cos (2x)+\sin (2x)$ om ved hjelp av addisjonsformelen for sinus:

Siden $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$, blir dette

Altså er $\cos (2x)+\sin (2x)=\sqrt{2}\sin (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$, og dermed

Fra uttrykket i b) ser vi at $f$ har toppunkt når $\sin (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=1$, altså når

I $⟨-\pi ,\pi ⟩$ gir dette $x={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ og $x=-{\displaystyle \frac{7\pi }{8}}$, med toppverdi $f(x)=1+\sqrt{2}$.

Tilsvarende har $f$ bunnpunkt når $\sin (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=-1$, altså når

I $⟨-\pi ,\pi ⟩$ gir dette $x=-{\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$ og $x={\displaystyle \frac{5\pi }{8}}$, med bunnverdi $f(x)=1-\sqrt{2}$.

Toppunkter: $\underline{\underline{({\displaystyle \frac{\pi }{8}},1+\sqrt{2})}}$ og $\underline{\underline{(-{\displaystyle \frac{7\pi }{8}},1+\sqrt{2})}}$ Bunnpunkter: $\underline{\underline{(-{\displaystyle \frac{3\pi }{8}},1-\sqrt{2})}}$ og $\underline{\underline{({\displaystyle \frac{5\pi }{8}},1-\sqrt{2})}}$

Vi bruker resultatene fra a)–c) til å skissere grafen. Siden $f(x)=\sqrt{2}\sin (2x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+1$, er $f$ periodisk med periode $\pi$, og grafen svinger mellom bunnverdien $1-\sqrt{2}\approx -\mathrm{0,41}$ og toppverdien $1+\sqrt{2}\approx \mathrm{2,41}$.

Skissen tegnes med følgende karakteristiske punkter merket av, i rekkefølge fra venstre mot høyre på intervallet $⟨-\pi ,\pi ⟩$:

• Toppunkt ved $x=-{\displaystyle \frac{7\pi }{8}}$ (verdi $1+\sqrt{2}$)
• Nullpunkt ved $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
• Bunnpunkt ved $x=-{\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$ (verdi $1-\sqrt{2}$)
• Nullpunkt ved $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$
• Toppunkt ved $x={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$ (verdi $1+\sqrt{2}$)
• Nullpunkt ved $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
• Bunnpunkt ved $x={\displaystyle \frac{5\pi }{8}}$ (verdi $1-\sqrt{2}$)
• Nullpunkt ved $x={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$

Grafen starter altså (nær $x=-\pi$) på vei ned mot et toppunkt ved $x=-{\displaystyle \frac{7\pi }{8}}$, faller gjennom nullpunktet ved $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ til bunnpunktet ved $x=-{\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$, stiger deretter gjennom nullpunktet ved $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ til toppunktet ved $x={\displaystyle \frac{\pi }{8}}$, og fortsetter i samme mønster (én hel periode til) resten av intervallet.