Trekantundersøkelse og cosinussetningen med CAS og parameter a

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt $Δ A B C$ slik at $∠ A = 45^{\circ}$ , $B C = 6$ og $A C = 8$ .

For hånd

Bruk CAS til å bestemme lengden av $A B$ eksakt.

For hånd

I resten av oppgaven setter vi $B C = a$ .

Ved å velge ulike verdier for $a$ kan vi få to trekanter, én trekant eller ingen trekant.

Lag skisser som illustrerer dette.

For hånd

Sett $A B = x$ .

Bruk CAS til å bestemme for hvilke verdier av $a$ likningen

a^{2} = 8^{2} + x^{2} - 16 x \cdot \cos 45^{\circ}

har to positive løsninger
har én løsning
ikke har løsning

Bruk eksakte verdier.

For hånd

Vurder om svarene i oppgave c) samsvarer med skissene du laget i oppgave b).

Fasit

$A B = 4 \sqrt{2} - 2 \approx 3,66$ eller $A B = 4 \sqrt{2} + 2 \approx 7,66$

Se skissene i løsningsforslaget.

To løsninger for $4 \sqrt{2} < a < 8$ , én løsning for $a = 4 \sqrt{2} eller a \geq 8$ , ingen løsning for $a < 4 \sqrt{2}$

Ja, skissene i b) samsvarer med grensene i c).

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $A B = x$ og bruker cosinussetningen på siden $B C$ , som ligger motsatt vinkel $A$ :

B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 \cdot A C \cdot A B \cdot \cos A

6^{2} = 8^{2} + x^{2} - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos 45 °

Dette gir andregradslikningen $x^{2} - 8 \sqrt{2} x + 28 = 0$ . Vi løser den eksakt i CAS:

CAS-utregning for oppgave 6

Linje 1 viser at likningen har to positive løsninger:

x = 4 \sqrt{2} - 2 \approx 3,66 eller x = 4 \sqrt{2} + 2 \approx 7,66

Begge lengdene er positive, så det finnes faktisk to ulike trekanter $A B C$ som oppfyller de oppgitte kravene ( $∠ A = 45 °$ , $B C = 6$ , $A C = 8$ ). Dette er et eksempel på det som kalles den tvetydige situasjonen (SSA): når vi kjenner to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, kan det finnes to, én eller ingen løsning.

$A B = 4 \sqrt{2} - 2 eller A B = 4 \sqrt{2} + 2$

Vi ser for oss at $A$ og $C$ er faste punkter ( $∠ A = 45 °$ , $A C = 8$ ), mens $B$ ligger et sted på strålen fra $A$ langs den andre vinkelbeinet. Punktet $B$ må også ligge på en sirkel med sentrum $C$ og radius $a = B C$ . Om denne sirkelen treffer strålen null, én eller to ganger, avgjør antall trekanter.

Høyden fra $C$ ned til strålen er

h = A C \cdot \sin A = 8 \cdot \sin 45 ° = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \approx 5,66

Er $a$ mindre enn $h$ , når ikke sirkelen strålen: ingen trekant.
Er $a$ mellom $h$ og $A C = 8$ , skjærer sirkelen strålen i to punkter på riktig side av $A$ : to trekanter.
Er $a$ minst like stor som $A C = 8$ , skjærer sirkelen strålen i bare ett punkt på riktig side av $A$ : én trekant.

Skisser av de tre tilfellene: ingen, to og én trekant

Vi bytter ut $6$ med $a$ i likningen fra a) og løser for $x$ i CAS:

a^{2} = 8^{2} + x^{2} - 16 x \cdot \cos 45 °

Se linje 2 i skjermbildet i a). CAS gir

x = 4 \sqrt{2} \pm \sqrt{a^{2} - 32}

For at $x$ skal være et reelt tall, må $a^{2} - 32 \geq 0$ , altså $a \geq \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ (siden $a > 0$ ). Vi undersøker de to røttene $x_{1} = 4 \sqrt{2} + \sqrt{a^{2} - 32}$ og $x_{2} = 4 \sqrt{2} - \sqrt{a^{2} - 32}$ :

$x_{1}$ er alltid positiv når den er reell.
$x_{2}$ er positiv bare når $\sqrt{a^{2} - 32} < 4 \sqrt{2}$ , det vil si $a^{2} - 32 < 32$ , altså $a^{2} < 64$ , altså $a < 8$ .

Dette gir:

To positive løsninger (to trekanter): $4 \sqrt{2} < a < 8$
Én løsning (én trekant): $a = 4 \sqrt{2}$ (dobbel rot, $x_{1} = x_{2} = 4 \sqrt{2}$ ) eller $a \geq 8$ (bare $x_{1}$ er positiv)
Ingen løsning (ingen trekant): $a < 4 \sqrt{2}$

Grensene vi fant i c) er nøyaktig de samme som vi begrunnet geometrisk i b): $h = 4 \sqrt{2}$ er høyden fra $C$ ned til strålen, og $A C = 8$ er avstanden der sirkelen akkurat slutter å skjære strålen to ganger. Svarene i c) stemmer altså med skissene i b).

$Ja, svarene i c) samsvarer med skissene i b)$

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2015, del 2, oppgave 6
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Trigonometri, Cosinussetningen, CAS, Geometri, Andregradslikninger

Trekantundersøkelse og cosinussetningen med CAS og parameter a

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekantundersøkelse og cosinussetningen med CAS og parameter a

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekantundersøkelse og cosinussetningen med CAS og parameter a

Trekantundersøkelse og cosinussetningen med CAS og parameter a

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer