Vi setter $AB=x$ og bruker cosinussetningen på siden $BC$, som ligger motsatt vinkel $A$:

Dette gir andregradslikningen $x^2-8\sqrt{2}x+28=0$. Vi løser den eksakt i CAS:

Linje 1 viser at likningen har to positive løsninger:

Begge lengdene er positive, så det finnes faktisk to ulike trekanter $ABC$ som oppfyller de oppgitte kravene ($\angle A=45°$, $BC=6$, $AC=8$). Dette er et eksempel på det som kalles den tvetydige situasjonen (SSA): når vi kjenner to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, kan det finnes to, én eller ingen løsning.

$\underline{\underline{AB=4\sqrt{2}-2\mathrm{eller}AB=4\sqrt{2}+2}}$

Vi ser for oss at $A$ og $C$ er faste punkter ($\angle A=45°$, $AC=8$), mens $B$ ligger et sted på strålen fra $A$ langs den andre vinkelbeinet. Punktet $B$ må også ligge på en sirkel med sentrum $C$ og radius $a=BC$. Om denne sirkelen treffer strålen null, én eller to ganger, avgjør antall trekanter.

Høyden fra $C$ ned til strålen er

• Er $a$ mindre enn $h$, når ikke sirkelen strålen: ingen trekant.
• Er $a$ mellom $h$ og $AC=8$, skjærer sirkelen strålen i to punkter på riktig side av $A$: to trekanter.
• Er $a$ minst like stor som $AC=8$, skjærer sirkelen strålen i bare ett punkt på riktig side av $A$: én trekant.

Vi bytter ut $6$ med $a$ i likningen fra a) og løser for $x$ i CAS:

Se linje 2 i skjermbildet i a). CAS gir

For at $x$ skal være et reelt tall, må $a^2-32\ge 0$, altså $a\ge \sqrt{32}=4\sqrt{2}$ (siden $a>0$). Vi undersøker de to røttene $x_1=4\sqrt{2}+\sqrt{a^2-32}$ og $x_2=4\sqrt{2}-\sqrt{a^2-32}$:

• $x_1$ er alltid positiv når den er reell.
• $x_2$ er positiv bare når $\sqrt{a^2-32}<4\sqrt{2}$, det vil si $a^2-32<32$, altså $a^2<64$, altså $a<8$.

Dette gir:

• To positive løsninger (to trekanter): $\underline{\underline{4\sqrt{2}<a<8}}$
• Én løsning (én trekant): $\underline{\underline{a=4\sqrt{2}}}$ (dobbel rot, $x_1=x_2=4\sqrt{2}$) eller $\underline{\underline{a\ge 8}}$ (bare $x_1$ er positiv)
• Ingen løsning (ingen trekant): $\underline{\underline{a<4\sqrt{2}}}$

Grensene vi fant i c) er nøyaktig de samme som vi begrunnet geometrisk i b): $h=4\sqrt{2}$ er høyden fra $C$ ned til strålen, og $AC=8$ er avstanden der sirkelen akkurat slutter å skjære strålen to ganger. Svarene i c) stemmer altså med skissene i b).

$\underline{\underline{\text{Ja, svarene i c) samsvarer med skissene i b)}}}$