Hvis trekanten er rettvinklet, må Pytagoras’ setning gjelde med den lengste siden som hypotenus. Den lengste siden er $\mathrm{6,0}\mathrm{cm}$, så vi sjekker om

Siden $41\ne 36$, er $\underline{\underline{\text{trekanten ikke rettvinklet}}}$.

Vi bruker cosinussetningen til å finne vinkelen $C$ som ligger motsatt den lengste siden ($\mathrm{6,0}\mathrm{cm}$), mellom sidene $\mathrm{4,0}\mathrm{cm}$ og $\mathrm{5,0}\mathrm{cm}$:

Deretter bruker vi arealsetningen med de to sidene som ligger inntil vinkelen $C$:

Med sidene $\mathrm{7,0}\mathrm{cm}$ og $\mathrm{11,0}\mathrm{cm}$ og mellomliggende vinkel $v$ er arealet gitt ved arealsetningen:

Arealet blir størst når $\sin v$ er størst mulig, altså når $\sin v=1$, som gir $v=90°$. Da blir trekanten rettvinklet med de to gitte sidene som kateter, og arealet blir

Vi bruker igjen arealsetningen, med areal $T=30{\mathrm{cm}}^2$:

Likningen $\sin v=\mathrm{0,7792}$ har to løsninger mellom $0°$ og $180°$ — én spiss og én stump vinkel:

Begge gir en gyldig trekant med sidene $\mathrm{7,0}\mathrm{cm}$ og $\mathrm{11,0}\mathrm{cm}$ og areal $30{\mathrm{cm}}^2$:

• Med den spisse vinkelen $v_1\approx \mathrm{51,2}°$ finner vi den tredje siden med cosinussetningen: $c^2={\mathrm{7,0}}^2+{\mathrm{11,0}}^2-2\cdot \mathrm{7,0}\cdot \mathrm{11,0}\cdot \cos (\mathrm{51,2}°)\approx \mathrm{73,5}$, som gir $c\approx \mathrm{8,6}\mathrm{cm}$. Dette gir en «kort og bred» trekant.
• Med den stumpe vinkelen $v_2\approx \mathrm{128,8}°$ blir tredje side $c^2={\mathrm{7,0}}^2+{\mathrm{11,0}}^2-2\cdot \mathrm{7,0}\cdot \mathrm{11,0}\cdot \cos (\mathrm{128,8}°)\approx \mathrm{266,5}$, som gir $c\approx \mathrm{16,3}\mathrm{cm}$. Dette gir en «lang og smal» trekant.