Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f(x) med trekanten OAB der A=(x,0) og B=(x, f(x))

Figuren viser en del av grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \frac{5}{2} e^{- \frac{x}{2}}, x > 0

For hånd

Vis at arealet av $△ O A B$ er gitt ved

g (x) = \frac{5}{4} x \cdot e^{- \frac{x}{2}}

Kalkulator

Bestem det største arealet som $△ O A B$ kan ha.

Oppsett for hånd

Bruk digitalt verktøy til å bestemme $x$ slik at trekanten er likebeint.

Hvor stort er arealet da?

Fasit

Vist ved utregning, se løsningsforslag.

$A_{maks} = \frac{5}{2 e} \approx 0,92$

$x \approx 1,30 og arealet \approx 0,85$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten $O A B$ har hjørner $O = (0, 0)$ , $A = (x, 0)$ og $B = (x, f (x))$ . Siden $O A$ ligger langs $x$ -aksen og $A B$ står loddrett fra $A$ til $B$ , er $△ O A B$ rettvinklet i $A$ , med kateter

| O A | = x og | A B | = f (x)

Arealet av en rettvinklet trekant er halvparten av produktet av katetene:

g (x) = \frac{1}{2} \cdot | O A | \cdot | A B | = \frac{1}{2} \cdot x \cdot f (x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{5}{2} e^{- \frac{x}{2}} = \frac{5}{4} x \cdot e^{- \frac{x}{2}}

som var det som skulle vises.

Vi deriverer $g (x) = \frac{5}{4} x \cdot e^{- \frac{x}{2}}$ med produktregelen:

g^{'} (x) = \frac{5}{4} (e^{- \frac{x}{2}} + x \cdot (- \frac{1}{2}) e^{- \frac{x}{2}}) = \frac{5}{4} e^{- \frac{x}{2}} (1 - \frac{x}{2})

Se linje 3 i utklippet under. Siden $e^{- \frac{x}{2}} > 0$ for alle $x$ , blir $g^{'} (x) = 0$ når

1 - \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow x = 2

(linje 4 i utklippet). For $0 < x < 2$ er $g^{'} (x) > 0$ , og for $x > 2$ er $g^{'} (x) < 0$ , så $x = 2$ gir et globalt maksimum for $g$ på $x > 0$ .

Maksimalt areal (linje 5 i utklippet) er

g (2) = \frac{5}{4} \cdot 2 \cdot e^{- 1} = \frac{5}{2 e} \approx 0,92

Trekanten er rettvinklet i $A$ , så hypotenusen $O B$ er alltid lengre enn hvert av katetene $O A$ og $A B$ . Da kan $△ O A B$ bare være likebeint dersom de to katetene er like lange, altså

| O A | = | A B | \Leftrightarrow x = f (x)

I CAS (linje 6–7 i utklippet) defineres $h (t) = t - f (t)$ , og nullpunktet gir

x \approx 1,3031

Arealet ved denne $x$ -verdien (linje 8 i utklippet) er

g (1,3031) \approx 0,85

CAS-utregning: derivasjon, maksimum og likebeint tilfelle

Trekanten er dermed likebeint når $x \approx 1,30$ , og arealet er da $\approx 0,85$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Oppgaven kan løses ved regning, grafisk eller ved bruk av digitale verktøy.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2012, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Optimering, Areal og omkrets

Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer