Trekant med kvadratrot-sider og eksakte trigonometriske verdier

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

|400

Gitt trekanten ovenfor. $A B = 4 \sqrt{5}$ , $B C = 10 \sqrt{2}$ og $A C = 6 \sqrt{10}$ .

Bestem eksakte verdier for $\cos A$ og $\sin C$ .

Fasit

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og $\sin C = \frac{\sqrt{5}}{5}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker standard navn på sidene: $a = B C$ (motstående $A$ ), $b = A C$ (motstående $B$ ) og $c = A B$ (motstående $C$ ), altså

a = 10 \sqrt{2}, b = 6 \sqrt{10}, c = 4 \sqrt{5}

Cosinussetningen for å finne $\cos A$ :

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos A \Rightarrow \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}

Vi regner ut kvadratene:

a^{2} = {(10 \sqrt{2})}^{2} = 200, b^{2} = {(6 \sqrt{10})}^{2} = 360, c^{2} = {(4 \sqrt{5})}^{2} = 80

Setter vi inn:

\cos A = \frac{360 + 80 - 200}{2 \cdot 6 \sqrt{10} \cdot 4 \sqrt{5}} = \frac{240}{48 \sqrt{50}}

Siden $\sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$ , blir dette

\cos A = \frac{240}{48 \cdot 5 \sqrt{2}} = \frac{240}{240 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$\cos A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (som svarer til $A = 45 °$ )

Cosinussetningen for å finne $\cos C$ , deretter $\sin C$ :

\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} = \frac{200 + 360 - 80}{2 \cdot 10 \sqrt{2} \cdot 6 \sqrt{10}} = \frac{480}{120 \sqrt{20}}

Siden $\sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ , blir dette

\cos C = \frac{480}{120 \cdot 2 \sqrt{5}} = \frac{480}{240 \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}

Ved å bruke $\sin^{2} C + \cos^{2} C = 1$ finner vi $\sin C$ (positiv, siden $C$ er en vinkel i en trekant):

\sin C = \sqrt{1 - \cos^{2} C} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

$\sin C = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2020, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Trigonometri, Cosinussetningen, Sinussetningen, Eksakte verdier

Innstillinger