Trekant med høyder og ortosentrum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$△ A B C$ har hjørnene $A (- 1, - 1)$ , $B (5, 2)$ og $C (1, 5)$ . Se figuren nedenfor.

Trekant ABC i koordinatsystem

Likningen for linjen gjennom $A$ og $B$ er $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ , og likningen for linjen gjennom $A$ og $C$ er $y = 3 x + 2$ .

For hånd

Bestem likningen for linjen gjennom $B$ og $C$ .

I oppgave 5 i Del 1 har du vist at dersom to linjer står vinkelrett på hverandre, er produktet av stigningstallene lik $- 1$ .

For hånd

Bruk denne egenskapen til å vise at linjen som går gjennom $C$ og som står vinkelrett på sidekanten $A B$ har likning $y = - 2 x + 7$ .

På samme måte kan det vises at linjen som går gjennom $A$ og som står vinkelrett på sidekanten $B C$ har likning $y = \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$ , og linjen som går gjennom $B$ og som står vinkelrett på $A C$ har likning $y = - \frac{1}{3} x + \frac{11}{3}$ .

For hånd

Vis ved regning at de tre høydene i $△ A B C$ skjærer hverandre i ett og samme punkt. Bestem koordinatene til dette skjæringspunktet.

Fasit

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{23}{4}$

Vist, se løsningsforslag

Skjæringspunkt (ortosentrum): $(2, 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Stigningstallet til linjen gjennom $B (5,2)$ og $C (1,5)$ er

a = \frac{y_{C} - y_{B}}{x_{C} - x_{B}} = \frac{5 - 2}{1 - 5} = \frac{3}{- 4} = - \frac{3}{4}

Ettpunktsformelen med punktet $B (5,2)$ gir

y - 2 = - \frac{3}{4} (x - 5)

y = - \frac{3}{4} x + \frac{15}{4} + 2 = - \frac{3}{4} x + \frac{23}{4}

GeoGebra CAS bekrefter dette (rBC i utklippet).

Trekant med høyder — GeoGebra CAS

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{23}{4}$

Linjen gjennom $A$ og $B$ har stigningstall $a_{A B} = \frac{1}{2}$ . Høydelinjen gjennom $C$ skal stå vinkelrett på $A B$ , så produktet av stigningstallene må være $- 1$ :

a_{A B} \cdot a_{h_{C}} = - 1 \Rightarrow a_{h_{C}} = - \frac{1}{a_{A B}} = - \frac{1}{\frac{1}{2}} = - 2

Høydelinjen går gjennom $C (1,5)$ , så ettpunktsformelen gir

y - 5 = - 2 (x - 1)

y = - 2 x + 2 + 5 = - 2 x + 7

Dette er nettopp den oppgitte likningen, så påstanden er vist.

$y = - 2 x + 7$

De tre høydene har likningene

h_{C} : y = - 2 x + 7, h_{A} : y = \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}, h_{B} : y = - \frac{1}{3} x + \frac{11}{3}

Vi finner skjæringspunktet mellom $h_{C}$ og $h_{A}$ ved å sette høyresidene lik hverandre:

- 2 x + 7 = \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}

Ganger begge sider med $3$ :

- 6 x + 21 = 4 x + 1 \Rightarrow 20 = 10 x \Rightarrow x = 2

Setter $x = 2$ inn i $h_{C}$ : $y = - 2 \cdot 2 + 7 = 3$ . Altså skjærer $h_{C}$ og $h_{A}$ hverandre i punktet $(2, 3)$ .

For å vise at $h_{B}$ også går gjennom dette punktet, setter vi $x = 2$ inn i $h_{B}$ :

y = - \frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{11}{3} = \frac{- 2 + 11}{3} = \frac{9}{3} = 3

Siden alle tre høydene passerer gjennom $(2, 3)$ , skjærer de hverandre i ett og samme punkt. Dette bekreftes med GeoGebra CAS i utklippet over: Skjaering gir ${x = 2, y = 3}$ , og Kontroll (verdien til $h_{B}$ ved $x = 2$ ) gir $3$ .

$(x, y) = (2, 3)$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2014, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Lineære funksjoner, Vektorer, Bevis

Trekant med høyder og ortosentrum

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Trekant med høyder og ortosentrum

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Trekant med høyder og ortosentrum

Trekant med høyder og ortosentrum

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer