For at $(x+6)$ skal være en faktor i $f(x)$, må $f(-6)=0$ (faktorsetningen). Vi setter inn $x=-6$:

Siden $f(-6)=0$, er $(x+6)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^2-x-2$. Vi søker to tall som har produkt $-2$ og sum $-1$: tallene er $-2$ og $1$. Dermed er

Samlet:

$\underline{\underline{f(x)=(x+6)(x-2)(x+1)}}$

Vi deriverer $f$:

Vi sjekker at $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$ er et kritisk punkt ved å sette inn i $f^{\prime }(x)$:

For å avgjøre om dette er et bunnpunkt, deriverer vi én gang til:

Siden $f^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)>0$, er grafen konveks (holder en skål) om $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$, og punktet er dermed et bunnpunkt. (Vi kan verifisere at $f\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)=-{\displaystyle \frac{400}{27}}\approx -\mathrm{14,8}$, i samsvar med oppgaven.)

For å finne eventuelle andre ekstremalpunkter, løser vi $f^{\prime }(x)=0$ fullstendig. Vi faktoriserer $3x^2+10x-8$. Vi søker en faktorisering på formen $(3x+a)(x+b)$ der $ab=-8$ og $a+3b=10$: med $a=-2$, $b=4$ passer det, siden $-2\cdot 4=-8$ og $-2+3\cdot 4=10$:

Vi sjekker $x=-4$ i $f^{\prime \prime }(x)$:

Siden $f^{\prime \prime }(-4)<0$, er grafen konkav (holder en kuppel) om $x=-4$, og punktet er et toppunkt. Vi finner $y$-verdien:

$\underline{\underline{\text{Toppunkt}(-4,36)}}$

Vendepunkt finner vi ved å løse $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Siden $f^{\prime \prime }(x)$ skifter fortegn (fra negativt for $x<-{\displaystyle \frac{5}{3}}$ til positivt for $x>-{\displaystyle \frac{5}{3}}$, se at $f^{\prime \prime }(-4)=-14<0$ og $f^{\prime \prime }\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)=14>0$), er dette faktisk et vendepunkt.

$\underline{\underline{x=-{\displaystyle \frac{5}{3}}}}$

Grafen til $f$ er en tredjegradsfunksjon med positiv ledende koeffisient, så den kommer fra $-\infty$ nede til venstre og går mot $+\infty$ oppe til høyre. Fra a) har grafen nullpunkter i $x=-6$, $x=-1$ og $x=2$. Fra b) er $(-\mathrm{4,36})$ toppunkt og $({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{400}{27}})\approx (\mathrm{0,667},-\mathrm{14,8})$ er bunnpunkt, med vendepunktet fra c) liggende mellom disse (ved $x=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$).