Tredjegradslikning ved gjetting og polynomdivisjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4 = 0

Fasit

$x = 1$ (dobbeltrot) og $x = - 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi prøver heltall som er faktorer av konstantleddet $4$ , altså $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ .

Prøver $x = 1$ :

1^{3} + 2 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 4 = 1 + 2 - 7 + 4 = 0 ✓

Siden $x = 1$ er et nullpunkt, er $(x - 1)$ en faktor. Vi polynomdividerer:

\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4}{x - 1}

\begin{matrix} (x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4 & ) : (x - 1) = x^{2} + 3 x - 4 \\ x^{3} - 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ 3 x^{2} - 7 x + 4 \\ 3 x^{2} - 3 x + 0 \\ - 4 x + 4 \\ - 4 x + 4 \\ 0 \end{matrix}

Vi har nå:

x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4 = (x - 1) (x^{2} + 3 x - 4)

Andregradslikningen $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ løses med abc-formelen:

x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{- 3 \pm 5}{2}

x = \frac{- 3 + 5}{2} = 1 eller x = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4

Samlet faktorisering:

x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4 = {(x - 1)}^{2} (x + 4)

Likningen har løsningene $x = 1$ (dobbeltrot) og $x = - 4$ .

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2021, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likninger, Polynomdivisjon, Faktorisering
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar

Innstillinger