Vi deriverer $P$ to ganger.

I punktet $x=1$ er $P(1)=2-6-2+6=0$, så punktet $(1,0)$ ligger på grafen. Videre er $P^{\prime \prime }(1)=12\cdot 1-12=0$. Siden $P^{\prime \prime }(x)=12x-12$ er lineær og negativ for $x<1$, men positiv for $x>1$, skifter $P^{\prime \prime }$ fortegn i $x=1$. Dermed er $(1,0)$ et vendepunkt på grafen til $P$.

Siden $P(1)=0$, er $(x-1)$ en faktor i $P(x)$. Vi faktoriserer først ut $2$.

Polynomdivisjon av $x^3-3x^2-x+3$ med $(x-1)$ gir $x^2-2x-3$.

Andregradsuttrykket faktoriseres videre, siden $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$.

Vi kjenner igjen at $2e^{3x}-6e^{2x}-2e^x+6$ har samme form som $P$ med $x$ erstattet av $e^x$. Vi substituerer $u=e^x$, der $u>0$.

Fra faktoriseringen i b) er $P(u)=2(u-1)(u-3)(u+1)=0$, som gir $u=1$, $u=3$ eller $u=-1$. Siden $u=e^x>0$, forkastes løsningen $u=-1$.