Tredjegradsfunksjon toppunkt tangent og arealforhold i CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x (x^{2} - 8)

Skissen nedenfor viser grafen til $f$ .

|350

$A$ og $B$ er nullpunkt til $f$ og $C$ er toppunkt på grafen til $f$ .

For hånd

Bruk CAS til å bestemme eksakte verdier for koordinatene til $A$ , $B$ og $C$ .

For hånd

Bruk CAS til å bestemme eksakt verdi for arealet av $Δ A B C$ .

Punktet $D$ er skjæringspunktet mellom tangenten til grafen til $f$ i punktet $B$ og den vertikale linjen gjennom punktet $A$ .

For hånd

Bruk CAS til å bestemme eksakt verdi for forholdet mellom arealet av $Δ A B D$ og arealet av $Δ A B C$ .

Fasit

$A = (- 2 \sqrt{2}, 0), B = (0,0), C = (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{32 \sqrt{6}}{9})$

$Areal (Δ A B C) = \frac{64 \sqrt{3}}{9}$

$\frac{Areal (Δ A B D)}{Areal (Δ A B C)} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er $f (x) = x (x^{2} - 8) = x^{3} - 8 x$ .

$A$ og $B$ er nullpunktene til $f$ til venstre og i origo (se figuren), og $C$ er toppunktet (lokalt maksimum) mellom dem. Vi løser $f (x) = 0$ i CAS for å finne nullpunktene, og $f^{'} (x) = 0$ for å finne $x$ -koordinaten til $C$ :

f (x) = 0 \Rightarrow x = - 2 \sqrt{2}, x = 0, x = 2 \sqrt{2}

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 = 0 \Rightarrow x = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}, x = \frac{2 \sqrt{6}}{3}

Ut fra figuren er $A = (- 2 \sqrt{2}, 0)$ og $B = (0,0)$ . $C$ ligger mellom $A$ og $B$ , så $C$ har $x = - \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ . CAS gir $y$ -koordinaten til $C$ :

f (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}) = \frac{32 \sqrt{6}}{9}

A = (- 2 \sqrt{2}, 0), B = (0, 0), C = (- \frac{2 \sqrt{6}}{3}, \frac{32 \sqrt{6}}{9})

$A$ og $B$ ligger begge på $x$ -aksen, så $A B$ er grunnlinjen i $Δ A B C$ :

A B = | 0 - (- 2 \sqrt{2}) | = 2 \sqrt{2}

Høyden i trekanten er den vertikale avstanden fra $C$ ned til $x$ -aksen, altså $y$ -koordinaten til $C$ :

h = \frac{32 \sqrt{6}}{9}

Arealet blir dermed

Areal (Δ A B C) = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot \frac{32 \sqrt{6}}{9} = \frac{32 \sqrt{12}}{9} = \frac{64 \sqrt{3}}{9}

CAS bekrefter dette (se utklipp).

Areal (Δ A B C) = \frac{64 \sqrt{3}}{9}

Tangenten til $f$ i $B = (0,0)$ har stigningstall $f^{'} (0)$ :

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 \Rightarrow f^{'} (0) = - 8

Tangenten i $B$ blir dermed $y = - 8 x$ .

Den vertikale linjen gjennom $A$ er $x = - 2 \sqrt{2}$ . Skjæringspunktet $D$ finner vi ved å sette $x = - 2 \sqrt{2}$ inn i tangentlikningen:

y_{D} = - 8 \cdot (- 2 \sqrt{2}) = 16 \sqrt{2}

D = (- 2 \sqrt{2}, 16 \sqrt{2})

$Δ A B D$ har samme grunnlinje $A B = 2 \sqrt{2}$ som $Δ A B C$ , mens høyden nå er $y$ -koordinaten til $D$ (siden $A D$ står vertikalt på $A B$ ):

Areal (Δ A B D) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 16 \sqrt{2} = 32

Forholdet mellom arealene blir

\frac{Areal (Δ A B D)}{Areal (Δ A B C)} = \frac{32}{\frac{64 \sqrt{3}}{9}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

CAS-utklippet under bekrefter nullpunktene, ekstremalpunktet og begge arealene:

CAS-utregning av nullpunkter, toppunkt og arealforhold

\frac{Areal (Δ A B D)}{Areal (Δ A B C)} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2019, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, CAS, Tangentlikning, Areal og omkrets, Tredjegradsfunksjon

Tredjegradsfunksjon toppunkt tangent og arealforhold i CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tredjegradsfunksjon toppunkt tangent og arealforhold i CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tredjegradsfunksjon toppunkt tangent og arealforhold i CAS

Tredjegradsfunksjon toppunkt tangent og arealforhold i CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer