Vi deriverer $f(x)=(x+2)(x^2+x+5)$. Først ganger vi ut parentesen:

Da blir den deriverte

Dette er et andregradsuttrykk der $a=3>0$, så grafen til $f^{\prime }$ er en oppoverbue. Vi finner ut om $f^{\prime }$ har nullpunkter ved å se på diskriminanten:

Siden $d<0$, har $f^{\prime }(x)=0$ ingen løsninger, og fordi $a>0$ ligger hele grafen til $f^{\prime }$ over $x$-aksen. Dermed er

og grafen til $f$ er strengt stigende for alle verdier av $x$.

Vendepunkter finner vi der $f^{\prime \prime }(x)=0$ og fortegnet til $f^{\prime \prime }$ skifter. Vi deriverer på nytt:

Vi setter $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Siden $f^{\prime \prime }(x)=6x+6$ er en rett linje med positiv stigningstall, er $f^{\prime \prime }(x)<0$ for $x<-1$ og $f^{\prime \prime }(x)>0$ for $x>-1$. Fortegnet skifter altså fra minus til pluss, så $x=-1$ gir et vendepunkt.

Vi finner $y$-verdien:

Vendepunktet er $(-1,5)$.

Siden $f$ er strengt stigende for alle $x$ (fra a) og har ett vendepunkt i $(-1,5)$ (fra b), er grafen en S-formet kurve som stiger hele tiden, flater litt ut rundt vendepunktet, og fortsetter å stige. For $x\to -\infty$ går $f(x)\to -\infty$, og for $x\to \infty$ går $f(x)\to \infty$. Grafen har ingen topp- eller bunnpunkter siden $f^{\prime }>0$ overalt.