Tredjegradsfunksjon og linje med CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 28, D_{f} = ℝ

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ .

En linje skjærer grafen til $f$ i punktene $(- 3, - 8)$ og $(2, 2)$ .

For hånd

Bestem det tredje skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og linjen. Hva blir summen av $x$ -koordinatene til de tre skjæringspunktene?

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

En linje $ℓ$ går gjennom punktene $(s, g (s))$ og $(t, g (t))$ .

For hånd

Bruk CAS til å bestemme likningen for linjen $ℓ$ , uttrykt ved $s$ , $t$ , $a$ , $b$ og $c$ .

For hånd

Bruk CAS til å bestemme $x$ -koordinaten til det tredje skjæringspunktet mellom grafen til $g$ og linjen $ℓ$ . Bestem summen av $x$ -koordinatene til de tre skjæringspunktene.

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

Tredje skjæringspunkt $(5, 8)$ , sum av $x$ -koordinater $4$

$ℓ : y = k (x - s) + g (s)$ , der $k = s^{2} + t^{2} + s t + a (s + t) + b$

Tredje $x$ -koordinat $x = - a - s - t$ , sum av $x$ -koordinater $- a$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 28$ tegnes i graftegner.

Graf til f

Linjen gjennom $(- 3, - 8)$ og $(2, 2)$ har stigningstall

k = \frac{2 - (- 8)}{2 - (- 3)} = \frac{10}{5} = 2

Linjen får da likningen $ℓ (x) = 2 x - 2$ (funnet ved å sette inn punktet $(2, 2)$ i $y = k x + n$ ).

For å finne skjæringspunktene mellom $f$ og $ℓ$ løser vi $f (x) = ℓ (x)$ , altså

x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 28 = 2 x - 2 \Leftrightarrow x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0

Vi vet at $x = - 3$ og $x = 2$ er to av løsningene (de gitte skjæringspunktene), og faktoriserer i CAS for å finne den tredje.

CAS: faktorisering og tredje skjæringspunkt

CAS gir $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = (x - 2) (x + 3) (x - 5)$ , så den tredje $x$ -verdien er $x = 5$ . Da er $ℓ (5) = 2 \cdot 5 - 2 = 8$ , så det tredje skjæringspunktet er $(5, 8)$ .

Summen av $x$ -koordinatene til de tre skjæringspunktene blir

- 3 + 2 + 5 = 4

$Tredje skjæringspunkt: (5, 8), sum av x -koordinater = 4$

Linjen $ℓ$ går gjennom $(s, g (s))$ og $(t, g (t))$ , og har derfor stigningstall

k = \frac{g (t) - g (s)}{t - s}

Vi setter opp og forenkler dette i CAS, og setter deretter opp likningen for $ℓ$ som $ℓ (x) = g (s) + k (x - s)$ .

CAS: stigningstall og linje for g

CAS forenkler stigningstallet (k_2 i utklippet) til

k = s^{2} + t^{2} + a s + a t + s t + b

og linjen blir

ℓ (x) = g (s) + k \cdot (x - s) = k \cdot x + (g (s) - k \cdot s)

$ℓ (x) = (s^{2} + t^{2} + a s + a t + s t + b) x + g (s) - (s^{2} + t^{2} + a s + a t + s t + b) s$

Vi løser $g (x) = ℓ (x)$ i CAS (samme utklipp som i c). Siden $s$ og $t$ allerede er kjente løsninger, gir CAS alle tre løsningene direkte:

x = s, x = t, x = - a - s - t

Dette stemmer med Vieta: for et monisk tredjegradspolynom $x^{3} + a x^{2} + \dots$ er summen av røttene lik $- a$ , og siden $ℓ$ er lineær endrer ikke subtraksjonen av $ℓ (x)$ koeffisienten foran $x^{2}$ . Dette stemmer også med b), der $a = - 4$ ga sum $4 = - a$ .

Summen av alle tre $x$ -koordinatene blir dermed

s + t + (- a - s - t) = - a

$Tredje x -koordinat: x = - a - s - t, sum av x -koordinater = - a$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2015, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Funksjoner, CAS, Likninger, Graf

Tredjegradsfunksjon og linje med CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Tredjegradsfunksjon og linje med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Tredjegradsfunksjon og linje med CAS

Tredjegradsfunksjon og linje med CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer