Tredjegradsfunksjon med topp- og vendepunkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}, D_{f} = ℝ

Bestem $f^{'} (x)$ og $f^{''} (x)$ .

Bestem koordinatene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ . Bruk denne til å avgjøre for hvilke $x$ -verdier $f^{'} (x) > 0$ og samtidig $f^{''} (x) < 0$ .

Fasit

$f^{'} (x) = - x^{2} + 4 x$ , $f^{''} (x) = - 2 x + 4$

Bunnpunkt $(0,0)$ , toppunkt $(4, \frac{32}{3})$ , vendepunkt $(2, \frac{16}{3})$

$2 < x < 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker derivasjonsregelen $\frac{d}{d x} (x^{n}) = n \cdot x^{n - 1}$ ledd for ledd.

f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2}

f^{'} (x) = - \frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 x = - x^{2} + 4 x

f^{''} (x) = - 2 x + 4

Topp- og bunnpunkt finner vi der $f^{'} (x) = 0$ .

f^{'} (x) = - x^{2} + 4 x = 0 \Rightarrow x (- x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \lor x = 4

Vi bruker fortegnet til $f^{''} (x)$ for å avgjøre type ekstremalpunkt.

f^{''} (0) = 4 > 0 \Rightarrow bunnpunkt ved x = 0

f^{''} (4) = - 2 \cdot 4 + 4 = - 4 < 0 \Rightarrow toppunkt ved x = 4

Vi setter inn $x$ -verdiene i $f (x)$ for å finne $y$ -koordinatene.

f (0) = 0 \Rightarrow bunnpunkt (0,0)

f (4) = - \frac{1}{3} \cdot 4^{3} + 2 \cdot 4^{2} = - \frac{64}{3} + 32 = \frac{32}{3} \Rightarrow toppunkt (4, \frac{32}{3})

Vendepunkt finner vi der $f^{''} (x) = 0$ .

f^{''} (x) = - 2 x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2

f (2) = - \frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2^{2} = - \frac{8}{3} + 8 = \frac{16}{3}

Vendepunktet er $(2, \frac{16}{3})$ .

Skissen viser grafen med bunnpunkt $(0,0)$ , vendepunkt $(2, \frac{16}{3})$ og toppunkt $(4, \frac{32}{3})$ :

Skisse av grafen til f med bunnpunkt, vendepunkt og toppunkt

Vi skal finne $x$ -verdiene der $f^{'} (x) > 0$ og $f^{''} (x) < 0$ samtidig.

$f^{'} (x) > 0$ betyr at grafen er stigende. Fra b) vet vi at $f$ er stigende mellom bunnpunktet og toppunktet, altså

f^{'} (x) > 0 for 0 < x < 4

$f^{''} (x) < 0$ betyr at grafen vender den hule siden ned (er konkav), det vil si etter vendepunktet ved $x = 2$ :

f^{''} (x) < 0 for x > 2

Begge betingelsene er oppfylt samtidig når intervallene overlapper:

2 < x < 4

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2013, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter

Innstillinger